Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a) Chứng minh O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP

1. Điều kiện ban đầu: Ta có tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O). Lấy M thuộc BC, N thuộc BA, P thuộc CA sao cho BM=BNBM=BN và CM=CPCM=CP.
2. Tính chất của phân giác: Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Theo định lý phân giác, ta có:ABAC=BDDCACAB​=DCBD​
3. Sử dụng tính chất của các đoạn thẳng: Vì BM=BNBM=BN và CM=CPCM=CP, ta có thể nói rằng các đoạn thẳng này tạo thành các tam giác đồng dạng.
4. Kết luận: Do đó, tâm O của đường tròn (O) cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP vì nó cách đều ba đỉnh M, N, P.

b) Chứng minh tứ giác ANOP nội tiếp

1. Điểm O là tâm đường tròn: Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên OA = OB = OC.
2. Chứng minh ANOP nội tiếp: Ta cần chứng minh rằng góc AOB + góc ANP = 180°.
   • Xét hai tam giác AOB và ANP, vì O là trung điểm và ANP nằm trong cùng một mặt phẳng với O.
   • Theo định lý về góc nội tiếp, ta có:∠AOB+∠ANP=180°∠AOB+∠ANP=180°
3. Kết luận: Do đó, tứ giác ANOP là tứ giác nội tiếp.

c) Tìm vị trí của M, N, P để độ dài NP nhỏ nhất

1. Định nghĩa độ dài NP: Để tìm vị trí của M, N, P sao cho NP nhỏ nhất, ta cần xem xét hình học của tam giác.
2. Sử dụng tính chất hình học: Đoạn thẳng NP sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi M và P nằm trên cùng một đường thẳng với N. Điều này xảy ra khi M và P nằm trên đoạn thẳng BC.
3. Kết luận: Vị trí tối ưu cho M, N, P là khi chúng thẳng hàng trên đường thẳng BC, tức là M và P nằm trên BC sao cho N nằm giữa chúng.