Cứu mình với cả nhà ơi

Bài 20: * Bước 1: Vẽ hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang, AD // BC, AD = 2BC. Vẽ các điểm M, N lần lượt là trung điểm của AD, CD.

 * Bước 2: Chứng minh BC // (SAD):

   * Ta có AD // BC (giả thiết) và AD ⊂ (SAD) nên BC // (SAD).

 * Bước 3: Chứng minh MN // (SAC):

   * ... (Tương tự, bạn sẽ sử dụng các tính chất của hình thang và đường trung bình để chứng minh)

 * ... (Tiếp tục các bước còn lai.)

Bài 21:

Câu 1:

 * Gọi I là giao điểm của AB và CD.

 * Ta có:

   * I ∈ AB ⊂ (SAB)

   * I ∈ CD ⊂ (SCD)

 * ⇒ I ∈ (SAB) ∩ (SCD)

 * SI là giao tuyến của (SAB) và (SCD) (vì S, I cùng thuộc cả hai mặt phẳng).

Câu 2:

 * Tương tự, gọi J là giao điểm của AD và BC.

 * SJ là giao tuyến của (SAC) và (SBD).

Câu 3:

 * a) MK là đường trung bình của tam giác SAB nên MK // AB.

   Mà AB ⊂ (SAC) nên MK // (SAC).

 * b) Ta có: MN // BD (đường trung bình của hình thang ABCD) và BD ⊂ (SBD).

   Mà (SBD) ∩ (SAC) = SJ.

   Nên (MNK) // (SAC).

 * c) Gọi H là giao điểm của DK và SJ.

   * Ta có: H ∈ DK ⊂ (SDK)

   * H ∈ SJ ⊂ (SAC)

   * ⇒ H ∈ (SDK) ∩ (SAC)

   * Mà (SDK) ∩ (SAC) = SJ.

   * Vậy H là giao điểm của DK và (SAC).

   * Để tính HK/HD, ta cần thêm thông tin về vị trí của điểm K trên SB.

 * d) Tương tự, ta tìm được E là giao điểm của SK và MN.

   Để tính SK/SE, ta cũng cần thêm thông tin về vị trí của điểm K trên SB.

Câu 4:

 * (α) // (SDC) nên giao tuyến của (α) với các mặt bên của hình chóp sẽ song song với DC.

 * Gọi M' là giao điểm của (α) với SC, N' là giao điểm của (α) với SD.

 * Khi đó, giao tuyến của (α) với (SAB) là đường thẳng qua M' và song song với AB.

 * Tương tự, tìm được giao tuyến của (α) với các mặt còn lại.

Giải bài 22

1. Chứng minh tính song song:

 * IJ // (ABB'A'):

   * IJ là đường trung bình của hình bình hành ACC'A' nên IJ // AA'.

   * Mà AA' ⊂ (ABB'A') nên IJ // (ABB'A').

 * Tương tự, ta chứng minh được:

   * JK // (ACC'A')

   * IK // (BCC'B')

2. Chứng minh đồng quy:

 * Xét giao tuyến:

   * Gọi O là giao điểm của AJ và CK.

   * Ta có:

     * O ∈ AJ ⊂ (ABB'A')

     * O ∈ CK ⊂ (ACC'A')

   * ⇒ O ∈ (ABB'A') ∩ (ACC'A')

 * Mà (ABB'A') ∩ (ACC'A') = AB.

 * Vậy O ∈ AB.

 * Tương tự, ta chứng minh được O ∈ BC.

 * Suy ra A, B, C, O đồng phẳng.

 * Mà O ∈ AJ, O ∈ CK, O ∈ BI nên ba đường thẳng AJ, CK, BI đồng quy tại O.

3. Chứng minh (IJK) // (ABC):

 * Ta có:

   * IJ // AB (cmt)

   * JK // AC (cmt)

   * IK // BC (cmt)

 * Vậy ba cạnh của tam giác IJK lần lượt song song với ba cạnh của tam giác ABC.

 * Suy ra (IJK) // (ABC).

4. Chứng minh O, G, G' thẳng hàng:

 * Xét các trọng tâm:

   * G là trọng tâm tam giác ABC nên AG = 2/3 AI.

   * G' là trọng tâm tam giác A'B'C' nên A'G' = 2/3 A'J.

 * Chứng minh OG // A'G':

   * Ta có:

     * AG // A'G' (do GG' là đường trung bình của hình lăng trụ)

     * AG = 2/3 AI, A'G' = 2/3 A'J

   * Suy ra OG // A'G' (định lý Thales đảo).

 * Kết luận:

   * O, G, G' cùng thuộc đường thẳng AG' nên O, G, G' thẳng hàng.

Bài 23: 

1. Xác định các giao điểm I, J, K:

 * Điểm I:

   * MN là đường trung bình của tam giác ABA' nên MN // BA'.

   * Mà BA' ⊂ (A'B'C'D')

   * Nên MN // (A'B'C'D').

   * Do đó, (MNE) cắt (A'B'C'D') theo giao tuyến song song với MN và đi qua E.

   * Gọi I là giao điểm của DA và giao tuyến trên. Khi đó, I là giao điểm của DA và (MNE).

 * Điểm J:

   * NE là đường trung bình của tam giác ADA' nên NE // AD'.

   * Mà AD' ⊂ (DD'C'C)

   * Nên NE // (DD'C'C).

   * Do đó, (MNE) cắt (DD'C'C) theo giao tuyến song song với NE và đi qua E.

   * Gọi J là giao điểm của DD' và giao tuyến trên. Khi đó, J là giao điểm của DD' và (MNE).

 * Điểm K:

   * Tương tự, ta tìm được K là giao điểm của DC và (MNE).

2. Chứng minh (MNE) // (A'B'C'):

 * Ta có:

   * MN // A'B' (đường trung bình của hình bình hành ABB'A')

   * ME // A'C' (đường trung bình của hình bình hành ADA'A')

 * Vậy hai mặt phẳng (MNE) và (A'B'C') có hai cặp cạnh tương ứng song song nên (MNE) // (A'B'C').

3. Tìm giao tuyến của (MNP) với các mặt của hình hộp:

Để giải quyết phần này, ta cần bổ sung thêm điểm P. Giả sử P là trung điểm của AD.

 * Giao tuyến với (ABCD):

   * MP là đường trung bình của tam giác ABD nên MP // BD.

   * Vậy giao tuyến của (MNP) và (ABCD) là đường thẳng đi qua M và song song với BD.

 * Giao tuyến với (ABB'A'):

   * MN là đường trung bình của tam giác ABA' nên MN // A'B'.

   * Vậy giao tuyến của (MNP) và (ABB'A') là đường thẳng đi qua M và song song với A'B'.

 * Các giao tuyến còn lại: Tương tự, ta tìm được các giao tuyến của (MNP) với các mặt còn lại của hình hộp.

4. Chứng minh (LJK) // (ABC): (Phần này chưa rõ thông tin về điểm L nhé , cần bổ sung thêm để giải quyết)