$a)$ Xét $\triangle$ $ABD$ và $\triangle$ $ACD$ có:

+ $AB=AC$ (gt)

+ $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ (vì $AD$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$ do $Az$ là tia phân giác $\widehat{xAy}$, $B$ $\in$ $Ax$, $C$ $\in$ $Ay$, $D$ $\in$ $Az$)

+ $AD$ chung

$\Rightarrow$ $\triangle$ $ABD$ $=$ $\triangle$ $ACD$ (C-G-C)

Vậy $\triangle$ $ABD$ $=$ $\triangle$ $ACD$ (đpcm)

$b)$ Xét $\triangle$ $ABC$ có $AB=AC$ (gt)

$\Rightarrow$ $\triangle$ $ABC$ cân tại $A$ (định nghĩa)

Mà $AD$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$ (cmt)

$\Rightarrow$ $AD$ là đường trung trực của $BC$ (tính chất)

Vậy $AD$ là đường trung trực của $BC$ (đpcm)

$c)$ Xét $\triangle$ $ADM$ và $\triangle$ $ADN$ có:

+ $AD$ chung

+ $\widehat{DAM}=\widehat{DAN}$ (vì$AD$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$, $M$ $\in$ $AB$, $N$ $\in$ $AC$)

+ $AM=AN$ (gt)

$\Rightarrow$ $\triangle$ $ADM$ $=$ $\triangle$ $ADN$ (C-G-C)

$\Rightarrow$ $\widehat{DMA}=\widehat{DNA}$ ($2$ góc tương ứng)

Mà $\widehat{DMA}=90^o$ (vì $DM$ $\bot$ $AB$ tại $M$)

$\Rightarrow$ $\widehat{DNA}$=90^o$

$\Rightarrow$ $DN$ $\bot$ $AC$ tại $N$ (tính chất)

Vậy $\triangle$ $ADM$ $=$ $\triangle$ $ADN$ và $DN$ $\bot$ $AC$ tại $N$ (đpcm)

$d)$ Xét tứ giác $DNEC$ có:

+ $K$ là trung điểm của $NC$ (gt)

+ $K$ là trung điểm của $DE$ (vì $K$ $\in$ tia đối của tia $KD$ và $KE=KD$)

$\Rightarrow$ Tứ giác $DNEC$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biêt)

$\Rightarrow$ $NE$ $\parallel$ $CD$ (tính chất)

$\Rightarrow$ $NE$ $\parallel$ $BC$ ($D$ $\in$ $BC$) $(1)$

Vì $\triangle$ $ABC$ cân tại $A$ (cmt)

$\Rightarrow$ $\widehat{ABC}=\dfrac{180^o-\widehat{BAC}}{2}$ (tính chất)

hay $\widehat{ABC}=\dfrac{180^o-\widehat{MAN}}{2}$ (vì $M$ $\in$ $AB$, $N$ $\in$ $AC$) $(2)$ 

Vì $\triangle$ $AMN$ cân tại $A$ (vì $AM=AN$)

$\Rightarrow$ $\widehat{AMN}=\dfrac{180^o-\widehat{MAN}}{2}$ (tính chất) $(3)$

Từ $(2)$ và $(3)$ $\Rightarrow$ $\widehat{ABC}=\widehat{AMN}$ 

Mà chúng ở vị trí đồng vị

$\Rightarrow$ $MN$ $\parallel$ $BC$ (tính chất) $(4)$

Từ $(1)$ và $(4)$ $\Rightarrow$ $3$ điểm $M, N, E$ thẳng hàng (tính chất)

Vậy $3$ điểm $M, N, E$ thẳng hàng (đpcm)