Giải thích các bước giải:

Cực trị hàm số là $(2,5), (0,1)$

$\to f'(x)=a(x-2)x$

$\to f(x)=\int a(x-2)xdx=a(\dfrac{x^3}3-x^2)+C$

Lại có hàm số đi qua $(0,1), (2,5)$

$\to \begin{cases}a(\dfrac{0^3}3-0^2)+C=1\\a(\dfrac{2^3}3-2^2)+C=5\end{cases}$

$\to a=-3, C=1$

$\to f(x)=-3(\dfrac{x^3}3-x^2)+1=3x^2-x^3+1$

     $f'(x)=-3(x-2)x$

Giải $f'(x)=-9$

$\to -3(x-2)x=-9$

$\to x\in\{-1, 3\}$

$\to y\in\{5, 1)$

$\to I(3, 1), K(-1, 5)$

$\to$Khoảng cách ngắn nhất của cây cầu là khoảng cách từ $I$ đến $d$ hoặc từ $K$ đến $d (y=36-9x\to 9x+y-36=0)$

Ta có:

$d(I,d)=\dfrac{|9\cdot 3+1-36|}{\sqrt{9^2+1}}=\dfrac{4\sqrt2}{\sqrt{41}}\approx 0.9(m)$

$d(K, d)=\dfrac{|9\cdot (-1)+5-36|}{\sqrt{9^2+1}}=\dfrac{20\sqrt{2}}{\sqrt{41}}=4.4(m)$

$\to$Độ dài ngắn nhất của cầu là $0.9(m)$