Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có AH là đường cao. Gọi M là trung điểm AC. Từ M, kẻ ME vuông góc AH, MF vuông góc BC (E ∈ AH, F ∈ BC). a) b) Chứng minh tứ giác HEMF là hình chữ nhật. Chứng minh tứ giác EMCF là hình bình hành. c) Qua E vẽ đường thẳng song song với MH cắt tia đối của tia HC tại K. Vẽ đường thẳng vuông góc với BC tại C và đường thẳng này cắt đường thẳng HM tại I. Chứng minh AI = 2KH.

Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $ME\perp AH, MF\perp BC, AH\perp BC$

$\to MEHF$ là hình chữ nhật

 b.Vì $\Delta AHC$ vuông tại $H, M$ là trung điểm $AC$

$\to MH=MA=MC=\dfrac12AC$

$\to \Delta MHC,\Delta MAH$ cân tại $M$

Vì $MF\perp HC, ME\perp HA$

$\to F, E$ là trung điểm $HC, HA$

Ta có: $MEHF$ là hình chữ nhật

$\to ME//HF, ME=HF$

$\to EM//FC, ME=FC$ vì $F$ là trung điểm $HC$

$\to MEFC$ là hình bình hành

c.Ta có: $AH//CI(\perp BC)$

$\to \dfrac{MH}{MI}=\dfrac{MA}{MC}=1$

$\to MH=MI$

$\to M$ là trung điểm $HI$

$\to AC\cap HI=M$ là trung điểm mỗi đường

$\to AHCI$ là hình bình hành

$\to AI//HC$

Gọi $KE\cap AI=D$

$\to \dfrac{AD}{HK}=\dfrac{EA}{EH}=1$

$\to AD=HE$

Vì $EK//HM$

$\to ED//HI$

Ta có: $E$ là trung điểm $AH$

$\to ED$ là đường trung bình $\Delta AHI$

$\to D$ là trung điểm $AI$

$\to AI=2AD=2HK$