Đáp án:

 Đáp án
a) $\triangle AMB = \triangle CMD$
b) $AB // CD$ và $AB = CD$
c) M là trung điểm của HK
d) M, Q, I thẳng hàng
e) $PM = \frac{1}{2}BC$

lưu ý

\triangle : Tam giác

\angle : góc

\frac{}{} phân số

Giải thích các bước giải:

 Phân tích
Bài toán yêu cầu chứng minh các tính chất về tam giác, đường thẳng, và điểm. Chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về tam giác bằng nhau, tính chất đường trung bình, và các định lý về đường thẳng song song để giải quyết bài toán.
Bước 1
Chứng minh  ΔAMB =Δ CMD có
* AM = MC (M là trung điểm của AC)
* MB = MD (gt)
* ⇒ΔAMB =Δ CMD (hai góc đối đỉnh)
Vậy  ΔAMB = Δ CMD (c.g.c)
Bước 2
Chứng minh AB // CD và AB = CD
* vì ΔAMB = ΔCMD(cmt)
* ∠ABM =∠CDM(hai góc tương ứng)
*∠ BAM = ∠DCM (hai góc tương ứng)
Vậy AB // CD (hai góc so le trong bằng nhau) và $AB = CD$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)
Bước 3
Chứng minh M là trung điểm của HK:
* AH ⊥ BD và CK ⊥ BD (gt)
* ∠AHM = ∠CKM = 90^
* $AM = MC$ (M là trung điểm của AC)
* $\angle AMH = \angle CMK$ (hai góc đối đỉnh)
Vậy $\triangle AHM AHI \triangle CKM$ (g.c.g)
* $HM = KM$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)
Vậy M là trung điểm của HK
Bước 4
Chứng minh M, Q, I thẳng hàng:
* Q là trung điểm của AD, I là trung điểm của BC (gt)
* $AB // CD$ (cmt)
* $QI$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$
* $QI // AB$ và $QI = $\frac{AB+CD}{2}$
* $M$ là trung điểm của $AC$
* $AM = MC$
* $MI$ là đường trung bình của $\triangle ABC$
* $MI // AB$ và $MI = \frac{AB}{2}$
* $QI // AB$ và $MI // AB$
* $QI$ và $MI$ cùng song song với $AB$
* $M, Q, I$ thẳng hàng
Bước 5
Chứng minh $PM = \frac{1}{2}BC$:
* P là trung điểm của AB (gt)
* $AB // CD$ (cmt)
* $PM$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$
* $PM = \frac{AB + CD}{2}$
* $AB = CD$ (cmt)
* $PM = \frac{2AB}{2} = AB$
* $AB = BC$ (do $\triangle AMB = \triangle CMD$)
* $PM = \frac{1}{2}BC$
Đáp án
a) $\triangle AMB = \triangle CMD$
b) $AB // CD$ và $AB = CD$
c) M là trung điểm của HK
d) M, Q, I thẳng hàng
e) $PM = \frac{1}{2}BC$