a) Xét `ΔABC` vuông tại `A` có: Theo định lý Pythagore, ta có:

`AB^2``+``AC^2``=``BC^2`

`BC^2``=``3^2``+``4^2``=``25`

`BC=`$\sqrt{25}$`=``5` `(` cm `)`

Xét `ΔBHA` và `ΔBAC` có:

$\widehat{ABC}$ chung

$\widehat{AHB}$`=`$\widehat{BAC}$`=`$90^o$  

Suy ra `ΔBHA`$\backsim$`ΔBAC` `(` g.g `)`

Từ đó  $\dfrac{BA}{BC}$ `=`$\dfrac{HA}{AC}$ 

Hay `3/5``=`$\dfrac{AH}{4}$ 

Suy ra `HA=2,4` `(` cm `)`

Xét `ΔBHA` vuông tại `H` có: Theo định lý Pythagore, ta có:

`BH^2``+``AH^2``=``AB^2`

`BH^2``=``AB^2``-``AH^2``=``3^2``-``2,4^2``=``3,24`

`BH=`$\sqrt{3,24}$`=``1,8` `(` cm `)`

b) Xét `ΔBHA` vuông tại `A` có:

$\widehat{HBA}$`+`$\widehat{HAB}$`=`$90^o$ `(1)`

Xét `ΔBAC` vuông tại `A` có:

$\widehat{CBA}$`+`$\widehat{ACB}$`=`$90^o$ `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` suy ra $\widehat{HAB}$`=`$\widehat{ACB}$

Gọi `D` là giao điểm của `EF` và `AH`

Xét tứ giác `EHFA` có:

$\widehat{AEF}$`=`$\widehat{EAF}$`=`$\widehat{ÀH}$`=`$90^o$

Suy ra tứ giác `EHFA` là hình chữ nhật.

Lại có `D` là giao điểm của `2` đường chéo `EF` và `AH` 

Nên `D` cũng là trung điểm của `EF` và `AH`

Mà `EF=AH` ( Tính chất `2` đường chéo của hình chữ nhật )

Nên `ED=AD`

Xét `ΔEAD` có:

`ED=AD`

Nên `ΔEAD` là `Δ` cân tại `D`

Suy ra $\widehat{DEA}$`=`$\widehat{DAE}$

Mà $\widehat{DAE}$`=`$\widehat{BCA}$

Nên $\widehat{DEA}$`=`$\widehat{BCA}$

Xét `ΔAEF` và `ΔACB` có:

$\widehat{EAF}$`=`$\widehat{BAC}$`=`$90^o$

$\widehat{DEA}$`=`$\widehat{BCA}$

Suy ra `ΔAEF`$\backsim$`ΔACB` `(` g.g `)`

Từ đó $\dfrac{AE}{AC}$ `=`$\dfrac{AF}{AB}$ 

Hay `AE.AB=AF.AC` `(` đpcm `)`

$#chithanh17062010$