Giải thích các bước giải:

Đặt $R=9, h=18$

Gọi $h'$ là độ dài đường cao hình trụ $H$ nội tiếp hình đã cho 

$\to \dfrac{h'}h=\dfrac{R-r}{R}$

$\to h'=h(1-\dfrac{r}R)$

Thể tích hình nón là:

$V=\dfrac13\pi r^2h' =\dfrac13\pi r^2h(1-\dfrac{r}{R})=\dfrac13\pi h(r^2-\dfrac{r^3}R)$

$\to V'=2r-\dfrac{3r^2}{R}$

Giải $V'=0$

$\to 2r-\dfrac{3r^2}R=0$

$\to 2=\dfrac{3r}R$

$\to r=\dfrac23R$

Ta có:

$r^3+r^3+(\dfrac23R)^3\ge 3\sqrt{r^3\cdot r^3\cdot (\dfrac23R)^3}\ge 3r^2\cdot \dfrac23R$

$\to 2r^3\ge 2Rr^2-\dfrac8{27}R^3$

$\to r^3\ge Rr^2-\dfrac4{27}R^3$

$\to \dfrac{r^3}{R}\ge r^2-\dfrac{4R^2}{27}$

$\to r^2-\dfrac{r^3}R\le \dfrac{4R^2}{27}$

$\to V=\dfrac13\pi h(r^2-\dfrac{r^3}R)\le \dfrac13\pi h  \dfrac{4R^2}{27}=\dfrac4{81}\pi R^2h$

Dấu = xảy ra khi $r=\dfrac{2R}3=\dfrac23\cdot 9=6$