Câu 1 (1 điểm). Giải các phương trình sau: a) $\sqrt{3} \cot \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)=1$; b) $\cos x \cdot \cos 3 x+\cos 3 x \cdot \cos 5 x=2 \cos ^2 x-1$.

`a)`

`\sin(2x+\frac{\pi}{6}) \ne 0`

`\cot(2x+\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}`

`\cot(2x+\frac{\pi}{6}) = \cot(\frac{\pi}{3})`

`2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}`

`2x = \frac{\pi}{6} + k\pi`

`x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}`

`\sin(2x+\frac{\pi}{6}) = \sin(2(\frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}) + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{2} + k\pi)`

Nếu `k` chẵn `\sin(2x+\frac{\pi}{6}) = 1 \ne 0`

Nếu `k` lẻ `\sin(2x+\frac{\pi}{6}) = -1 \ne 0`

Vậy nghiệm của phương trình là `x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}`

`b)`

`\frac{1}{2}(\cos 4x + \cos 2x) + \frac{1}{2}(\cos 8x + \cos 2x) = 2\cos^2 x - 1`

`\cos 4x + \cos 2x + \cos 8x + \cos 2x = 4\cos^2 x - 2`

`\cos 8x + \cos 4x + 2\cos 2x = 2(2\cos^2 x - 1)`

`\cos 8x + \cos 4x + 2\cos 2x = 2\cos 2x`

`\cos 8x + \cos 4x = 0`

`2\cos 6x \cdot \cos 2x = 0`

`\Leftrightarrow` $\begin{cases} \cos 6x = 0 \\ \cos 2x = 0 \end{cases}$

`\Leftrightarrow` $ \begin{cases} 6x = \frac{\pi}{2} + k\pi \\ 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \end{cases}$

`\Leftrightarrow` $ \begin{cases} x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{6} \\ x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \end{cases}$

Vậy nghiệm của phương trình là `x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{6}, k \in \mathbb{Z}`