Bài 5 (1,5 điểm). Tính $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{x}-3}{x-1}$.

Đặt $f(x) = \sqrt{x+3} + \sqrt[3]{x} - 3$

Ta có $f(1) = \sqrt{1+3} + \sqrt[3]{1} - 3 = 2 + 1 - 3 = 0$

Vì `f(1) = 0` và `x-1=0` khi `x=1` ta có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital để tính giới hạn

Áp dụng quy tắc L'Hôpital, ta có:

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{x}-3}{x-1} = \lim_{x\rightarrow1}\frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{x}-3)}{\frac{d}{dx}(x-1)}$

`= \lim_{x\rightarrow1}\frac{\frac{1}{2}(x+3)^{-\frac{1}{2}} + \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}}{1}`

`= \frac{1}{2}(1+3)^{-\frac{1}{2}} + \frac{1}{3}(1)^{-\frac{2}{3}}`

`= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3}`

`= \frac{1}{4} + \frac{1}{3}`

`= \frac{3+4}{12}`

`= \frac{7}{12}`

Vậy: ....