Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABM,\Delta ADN$ có:

$AB=AD$

$\widehat{ABM}=\widehat{ADN}(=90^o)$ 

$BM=DN$
$\to \Delta ABM=\Delta ADN(c.g.c)$

b.Từ a $\to AM=AN, \widehat{NAD}=\widehat{MAB}$

$\to \widehat{MAN}=\widehat{NAD}+\widehat{DAM}=\widehat{MAB}+\widehat{DAM}=\widehat{DAB}=90^o$

$\to AM\perp AN$

Mà $AMFN$ là hình bình hành

$\to AMFN$ là hình vuông

c.Gọi $O$ là trung điểm $AF$

Vì $AMFN$ là hình vuông

$\to MN\perp AF$ tại trung điểm mỗi đường

$\to O$ là trung điểm $MN$  và $OA=OM=ON=OF=\dfrac12MN=\dfrac12AF$

Ta có: $\Delta MCN$ vuông tại $C, O$ là trung điểm $MN$

$\to OC=OM=ON=\dfrac12MN$

$\to OC=OA=OF=\dfrac12AF$

$\to \Delta CAF$ vuông tại $C$

$\to \widehat{ACF}=90^o$

d.Từ c $\to OA=OC$

Vì $ABCD$ là hình vuông

$\to BD$ là trung trực $AC$

Do $OA=OC\to O\in$ trung trực $AC$

$\to O\in BD$

$\to B, O, D$ thẳng hàng