Giải thích các bước giải:

Vì hàm số có cực đại là $(2,4),$ cực tiểu là $(0,0)$

$\to f'(x)=a(x-2)(x-0)=ax(x-2)$

$\to f(x)=\int f(x)dx=  a(\dfrac{x^3}3-x^2+C)$

Lại có $f(x)$ đi qua $(2,4), (0,0)$

$\to \begin{cases}a\cdot (\dfrac{0^3}3-0^2+C)=0\\ a\cdot (\dfrac{2^3}3-2^2+C)=4\end{cases}$

$\to a=-3, C=0$

$\to f(x)=-3(\dfrac{x^3}3-x^2+0)=-x^3+3x^2$

$\to f(x)\cap Ox$ tại $(0, 0), (3,0)$

Gọi vị trí đặt cầu là điểm $A(t, -t^3+3t^2)$

Ta có: $(d):y=-4x+16\to 4x+y-16=0$

Độ dài cây cầu là:

$d(A, d)=\dfrac{|4t-t^3+3t^2-16|}{\sqrt{4^2+1^2}}=\dfrac{\left|4t-t^3+3t^2-16\right|}{\sqrt{17}}$

Lập bảng biến thiên tại khoảng $[0,3]$ để tìm min của hàm số $g(x)=\dfrac{\left|4t-t^3+3t^2-16\right|}{\sqrt{17}}$  (hoặc bấm máy)

$\to d(A, d)$ nhỏ nhất $=0.696\to  x\approx 2.52$

$\to$Độ dài cây cầu ngắn nhất là $0.696\cdot 100=69.6m$