Đáp án + Giải thích các bước giải:

Đặt $BX = x(km)$

$\Rightarrow \begin {cases} AX = 0,8 - x (km) \\ XC = \sqrt{x^2 + 0,4^2} = \sqrt{x^2 + 0,16} (km)\end {cases}$ 

$\Rightarrow$ Thời gian vận động viên này chạy trên đoạn $AX$ là $\dfrac{0,8 - x}{30}(h)$

Thời gian vận động viên này bơi trên đoạn $XC$ là $\dfrac{\sqrt{x^2+ 0,16}}{6}(h)$

$\Rightarrow$ Tổng thời gian vận động viên này hoàn thành phần luyện tập là $\dfrac{0,8 - x}{30} + \dfrac{\sqrt{x^2 + 0,16}}{6}(h)$

Xét $f(x) = \dfrac{0,8 - x}{30} + \dfrac{\sqrt{x^2 + 0,16}}{6}(0 \le x \le 0,8)$

$f'(x) = \dfrac{-1}{30} + \dfrac{x}{6\sqrt{x^2 + 0,16}}$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{x}{6\sqrt{x^2 + 0,16}} = \dfrac{1}{30}$

$\Leftrightarrow 5x = \sqrt{x^2 + 0,16}$

$\Leftrightarrow 24x^2 - 0,16 = 0$

$\Leftrightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{0,2\sqrt{6}}{6}(n)\\x=-\dfrac{0,2\sqrt{6}}{6}(l)\end{array} \right.\) 

Bảng biến thiên: ảnh dưới

$\Rightarrow AX = 0,8 - x = 0,8 - \dfrac{0,2\sqrt{6}}{6} \approx 0,71835(km) = 718,35(m)$

Vậy nên chọn điểm $X$ cách $A$ gần bằng $718m$ để vận động viên đến $C$ nhanh nhất