Đáp án+ giải thích các bước giải:

1. ABCD là hình thoi 

⇒ AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường và AC ⊥ DB tại O

⇒ O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔABD có AB = AD và $\widehat{BAD}$ = $60^\circ$

nên ΔABD đều

⇒ BD = AB = AD 6 (cm)

Xét ΔABD đều có AO là đường cao

nên AO = BD . $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{6\sqrt{3}}{2}$ = 3$\sqrt{3}$ (cm)

O là trung điểm của AC

⇒ AC = 2.AO = 6$\sqrt{3}$ (cm)

2) ABCD là hình thoi

⇒ AC là phân giác của góc BAD; CA là phân giác của góc BCD: BD là phân giác của góc ABC; DB là phân giác của góc ADC

Ta có OM ⊥ AB

AB//CD

Do đó OM ⊥ CD

mà OP ⊥ CD

và OM,OP có điểm chung là O

nên M,O,P thẳng hàng 

Ta có: OQ ⊥ AD

AD//BC

Do đó OQ ⊥ BC

mà ON ⊥ BC

và OQ, ON là điểm chung của O

nên Q,O,N thẳng hàng

Xét ΔAMO vuông tại M và ΔAQO vuông tại Q có:

AO : chung

$\widehat{MAO}$ = $\widehat{QAO}$ (AO là tia phân giác của góc BAD)

Do đó: ΔAMO = ΔAQO

⇒ OM = OQ

Xét ΔBMO vuông tại M và ΔBNO vuông tại N có:

BO : chung

$\widehat{MBO}$ = $\widehat{NBO}$

Do đó: ΔBMO = ΔBNO

⇒ OM = ON

Xét ΔCNO vuông tại N và ΔCPO vuông tại P có:

CO: chung

$\widehat{NCO}$ = $\widehat{PCO}$

Do đó: ΔCNO = ΔCPO

⇒ ON = OP

Ta có: OM = ON

ON = OP

Do đó: OM = OP

⇒ O là trung điểm của MP

Ta có: OM = OQ

OM = ON

Do đó: OQ = ON

⇒ O là trung điểm của QN

Vì OM = OQ 

mà MP = 2OM và QN = 2OQ 

nên MP = QN

Xét tứ giác MNPQ có:

O là trung điểm chung của MP và NQ

⇒ MNPQ là hình bình hành

Hình bình hành MNPQ có MP = NQ

nên MNPQ là hình chữ nhật

3) Em tự lm nhé!