Câu 17( 0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$ P=4 x^2+2 y^2-4 x y-4 x-8 y+2050 $$

Ta có: `P = 4x^2 + 2y^2 - 4xy - 4x - 8y + 2050`

`= (4x^2 - 4xy + y^2 - 4x - 2y + 1) + (y^2 - 6y + 9) + 2040`

`= (2x - y + 1)^2 + (y-3)^2 + 2040`

Xét `P` có: `{((2x - y+1)^2 >= 0 text{với mọi x,y}),((y-3)^2 >= 0 text{với mọi y}):}`

`=> (2x - y + 1)^2 + (y-3)^2 >= 0`

`=> (2x-y+1)^2 + (y-3)^2 + 2040 >= 0`

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

+) `(y-3)^2 = 0 => y - 3 = 0 => y = 3`

+) Thay `y = 3` vào `(2x - y + 1)^2 = 0` được: `(2x - 3 + 1)^2 = 0 => 2x - 2 = 0 => 2x = 2 => x = 1`

Vậy, `P_(min) = 2040` khi `(x;y) = (1;3)`