Mn giúp tui câu 5 với ạ tui củm ơnnn

Đáp án: $41000$ USD

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$f'(x)=a(x-4)x$

$\to f(x)=\int a(x-4)xdx=\dfrac13ax^3-2ax^2+C$

Mà $f(x)$ đi qua $(4, 8), (0,0)$

$\to \begin{cases}\dfrac13a\cdot4^3-2a\cdot4^2+C=8\\\dfrac13a\cdot0^3-2a\cdot0^2+C=0\end{cases}$

$\to a=-\dfrac34, C=0$

$\to f(x)=\dfrac13\cdot (-\dfrac34)\cdot x^3-2\cdot (-\dfrac34)\cdot x^2+0$

$\to f(x)=-\dfrac{x^3}{4}+\dfrac{3x^2}{2}$

      $f'(x)=-\dfrac34(x-4)x$

Giải $f'(x)=-2$

$\to -\dfrac34(x-4)x=-2$

$\to x=\dfrac{2\left(3+\sqrt{15}\right)}{3}$

$\to$Tiếp tuyến của $f(x)$ song song với $y=20-2x$ là:

$y=-2(x-\dfrac{2\left(3+\sqrt{15}\right)}{3})-\dfrac{(\dfrac{2\left(3+\sqrt{15}\right)}{3})^3}{4}+\dfrac{3\cdot (\dfrac{2\left(3+\sqrt{15}\right)}{3})^2}{2}$

$\to y=\dfrac{-18x+20\sqrt{15}+72}{9}$

$\to K(0, \dfrac{20\sqrt{15}+72}{9})\in$ tiếp tuyến

Khoảng cách từ $K$ đến $y=20-2x\to 2x+y-20=0$ là:

$$\dfrac{|2\cdot 0+\dfrac{20\sqrt{15}+72}{9}-20|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\dfrac{108-20\sqrt{15}}{9\sqrt{5}}$$

$\to H^2-L^2=(\dfrac{108-20\sqrt{15}}{9\sqrt{5}})^2$

Để tối ưu hóa $L, H$ 

$\to L, H$ là cạnh góc vuông và cạnh huyền của một tam giác vuông cân

$\to \begin{cases}H^2-L^2=(\dfrac{108-20\sqrt{15}}{9\sqrt{5}})^2\\H^2=2L^2\end{cases}$

$\to H=\dfrac{8\sqrt{184-45\sqrt{15}}}{3\sqrt{15}}, L =\dfrac{4\sqrt{2}\sqrt{184-45\sqrt{15}}}{3\sqrt{15}}$

$\to C=100\cdot (200\cdot \dfrac{4\sqrt{2}\sqrt{184-45\sqrt{15}}}{3\sqrt{15}}+50\cdot \dfrac{8\sqrt{184-45\sqrt{15}}}{3\sqrt{15}})$

$\to C\approx 41000$