Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm E. Trên tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho BE= CF. Vẽ hình bình hành BEFD. Gọi I là giao điểm của EF và BC. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt BI tại K.

a) Chứng minh tứ giác EKFC là hình bình hành.

b) Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với AF cắt BD tại M.

Chứng minh AI= BM.

Tìm vị trí của E trên AB để A, I, D thẳng hàng.

Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $EK//AC(\perp AB)$

$\to \widehat{EKB}=\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=\widehat{EBK}$

$\to \Delta EBK$ cân tại $E$

$\to EK=EB$

Mà $BE=CF$

$\to EK=CF$

Ta có: $EK//AC\to EK//CF$

$\to ECFK$ là hình bình hành

b.Ta có: $KECF$ là hình bình hành

$\to EF\cap CK$ tại trung điểm mỗi đường

Vì $EF\cap BC=I\to EF\cap CK=I$

$\to I$ là trung điểm $EF, CK$

Ta có: $\Delta AEF$ vuông tại $A, I$ là trung điểm $EF$

$\to AI=IE=IF=\dfrac12EF$

Gọi $IM\perp AF=G$

Vì $IA=IF$

$\to G$ là trung điểm $AF$

Ta có: $BEFD$ là hình bình hành
$\to BE//DF$

$\to AB//DF$

$\to AB//MG//DF$

Do $G$ là trung điểm $AF$

$\to M$ là trung điểm $BD$

$\to MB=MD=\dfrac12BD$

Ta có: $BEFD$ là hình bình hành

$\to BD=EF$

$\to AI=\dfrac12EF=\dfrac12BD=BM$

c.Để $A, I, D$ thẳng hàng

$\to \dfrac{AE}{DF}=\dfrac{IE}{IF}=1\to AE=DF$

Mà  $BE=DF$

$\to EA=EB$

$\to E$ là trung điểm $AB$