Đáp án+Giải thích các bước giải:

Xét `p  \ne  q`

Gọi ƯCLN`( n + 1 ; n^2 + 1 ) = d  ( d in N`* )

Xét `n` chẵn `=> n + 1 ; n^2 + 1` lẻ

`=> {(n + 1  \vdots  d),(n^2 + 1  \vdots  d):}`

`=> {(n^2 - 1  \vdots  d),(n^2 + 1  \vdots  d):}`

`=> 2  \vdots   d`

` mà   d in N`* `=> d in { 1 ; 2 }`

Với `d = 2` vô lý `do  n + 1 ; n^2 + 1` lẻ `=> d = 1`

`=> ( n + 1 ; n^2 + 1 ) = ( pq ; p + q ) = 1  ( 1 )`

` Mà  pq( n + 1 ) = ( p + q )( n^2 + 1 )`

`=> pq   \vdots   n^2 + 1  và  n^2 + 1  \vdots   pq`

`=> pq = n^2 + 1`

khi đó: `p + q = n + 1 => n = p + q - 1`

`=> p^2 + q^2 + 1 - 2p - 2q + 2pq + 1 = pq`

`=> ( p - 1 )^2 + ( q - 1 )^2 + pq > 0  AA  p ; q` nguyên tố

`=>` vô lý

Xét `n` lẻ đặt `n = 2k + 1  ( k in N )`

`=>  pq( n + 1 ) = ( p + q )( n^2+ 1 )`

`=> pq( 2k + 2 ) = ( p + q )( 4k^2+ 4k + 2 )`

`=> pq( k + 1 ) = ( p + q )( 2k^2+ 2k + 1 )`

Ta có: `( k + 1 ; 2k^2 + 2k + 1 ) = ( pq ; p + q ) = 1  ( 2 )`

`( 2 )` làm TT `( 1 ) =>` vô lý

Xét `p = q` có:

`p^2( n + 1 ) = 2p( n^2 + 1 )`

`=> p( n + 1 ) = 2( n^2 + 1 )`

`=> p = ( 2n^2 + 2 )/( n + 1 )`

`=> p = ( 2n^2 - 2 + 4 )/( n + 1 )`

`=> p = 2n - 2 + 4/( n + 1 )`

`do  p in N => 2n - 2 + 4/( n + 1 ) in Z`

`=> 4/( n + 1 )  in  Z` lại có: `n in N`

`=> ( n +1 ) in Ư( 4 )   và   n + 1 >= 1`

`=> ( n + 1 ) in { 4 ; 2 ; 1 }`

`=> n in { 3 ; 1 ; 0 }`

Với `n = 3 => p = q = 5`

Với `n = 1 => p = q = 2`

Với `n = 0 => p = q = 2`

` Vậy  ( p ; q ) in { ( 2 ; 2 ) ; ( 5 ; 5 ) }`