Giải thích các bước giải:

a.Vì $ IA, IB$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to OI\perp AB=E$ là trung điểm $AB$

     $IO$ là phân giác $\widehat{AIB}$

Vì $IA, IC$ là tiếp tuyến của$(O')$

$\to IO'\perp AC=F$ là trung điểm $AC$

       $IO'$ là phân giác $\widehat{AIC}$

Mà $\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180^o$

$\to IO\perp IO'$

$\to IEAF$ là hình chữ nhật

Gọi $AI\cap EF=K$

$\to K$ là trung điểm $AI, EF$ và $KA=KI=KE=KF=\dfrac12IA=\dfrac12EF$

$\to A, E, I, F\in (K, \dfrac12AI)$

b.Ta có: $E, F$ là trung điểm $AB, AC$

$\to EF$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\to EF=\dfrac12BC$

$\to IA=EF=\dfrac12BC$

Vì $IEAF$ là hình chữ nhật

$\to AE\perp AF$

$\to AB\perp AC$

Ta có: $\Delta AIO$ vuông tại $A, AE\perp IO$

$\to IE.IO=IA^2=(\dfrac12BC)^2=\dfrac14BC^2$

Ta có: $\Delta IAO'$ vuông tại $A, AF\perp IO'$

$\to IF.IO'=IA^2=(\dfrac12BC)^2=\dfrac14BC^2$

$\to IE.IO+IF.IO'=\dfrac12BC^2=\dfrac12(AB^2+AC^2)$

c.Ta có: $\Delta OEA$ vouong tại $E, P$ là trung điểm $OA$

$\to PE=PO=PA=\dfrac12AO$

mà $KA=KE$

$\to \Delta KEP=\Delta  KAP(c.c.c)$

$\to \widehat{KEP}=\widehat{KAP}=90^o$

$\to PE\perp KE$

$\to PE$ là tiếp tuyến của $(K)$

d.Ta có:

$S_{ABC}=\dfrac12AB\cdot AC$

$\to S_{ABC}=\dfrac12\cdot 2AE\cdot 2AF$

$\to S_{ABC}=2AE\cdot AF$

$\to S_{ABC}\le AE^2+AF^2$

$\to S_{ABC}\le EF^2$

$\to S_{ABC}\le IA^2$

$\to S_{ABC}\le AO.AO'$

$\to S_{ABC}\le R.R'$

Dấu = xảy ra khi $AE=AF\to AEIF$ là hình vuông

$\to AI$ là phân giác $\widehat{OIO'}$

$\to \Delta IOO'$ vuông cân tại $I$

$\to AO=O'A$

$\to R=R'=\dfrac12OO'=a$