Cho hình chóp SABCD.Đáy ABCD là hình chữ nhật.SA vuống góc với đáy ABCD. AB=3a , AD=4a. H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SB,SD.Góc giữa SC và mặt phẳng ABCD =60* 1,Tính số đo góc giữa SC và mặt phẳng (SAD) 2, Tính số đo góc giữa SO và mặt phẳng (SAD) 3, Tính số đo góc giữa SD và mặt phẳng (SBC) 4, Tính số đo góc giữa SB và mặt phẳng (SAC)

Đáp án:

 1) $\left( {SC,\left( {SAD} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{3}{{10}}} \right)$

2) $\left( {SO,\left( {SAD} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{3}{{5\sqrt {13} }}} \right)$

3) $\left( {SD,\left( {SBC} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{{15}}{{14\sqrt {13} }}} \right)$

4) $\left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{6}{{5\sqrt {21} }}} \right)$

Giải thích các bước giải:

Gọi E là trung điểm AD; $BM\bot AC=M$

Ta có:

${SA \bot \left( {ABCD} \right)}$$\Rightarrow A$ là hình chiếu của $S$ trên $(ABCD)$

$\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA} = {60^0}$

Mà 

$\begin{array}{l}

\Delta ABC;\widehat {ABC} = {90^0};AB = 3a;BC = 4a\\

 \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = 5a

\end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}

\Delta SAC;\widehat {SAC} = {90^0};\widehat {SCA} = {60^0};AC = 5a\\

 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}

SA = AC.\tan \widehat {SCA} = 5a.\sqrt 3 \\

SC = \dfrac{{AC}}{{\cos \widehat {SCA}}} = \dfrac{{5a}}{{\dfrac{1}{2}}} = 10a

\end{array} \right.

\end{array}$

1) Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}

CD \bot AD\\

CD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)

\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)$

$\Rightarrow D$ là hình chiếu của $C$ trên $(SAD)$

$ \Rightarrow \left( {SC,\left( {SAD} \right)} \right) = \left( {SC,SD} \right) = \widehat {CSD}$

Lại có:$\begin{array}{l}

\Delta SCD;\widehat {CDS} = {90^0}\left( {CD \bot \left( {SAD} \right)} \right);SC = 10a;CD = 3a\\

 \Rightarrow \sin \widehat {CSD} = \dfrac{{CD}}{{SC}} = \dfrac{{3a}}{{10}} = \dfrac{3}{{10}}\\

 \Rightarrow \widehat {CSD} = \arcsin \left( {\dfrac{3}{{10}}} \right)\\

 \Rightarrow \left( {SC,\left( {SAD} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{3}{{10}}} \right)

\end{array}$

Vậy $\left( {SC,\left( {SAD} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{3}{{10}}} \right)$

2) Ta có:

$O,E$ lần lượt là trung điểm của $AC,AD$

$\to OE$ là đường trung bình của tam giác ACD.

$\to OE//CD; OE=\dfrac{CD}{2}=\dfrac{3a}{2}$

$\to OE\bot (SAD)$ $\to E$ là hình chiếu của O trên (SAD)

$ \Rightarrow \left( {SO,\left( {SAD} \right)} \right) = \left( {SO,SE} \right) = \widehat {OSE}$

Lại có:

$\begin{array}{l}

\Delta SAO;\widehat {SAO} = {90^0};SA = 5a\sqrt 3 ;AO = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{5a}}{2}\\

 \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} + O{A^2}}  = \sqrt {{{\left( {5a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{5a}}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{5a\sqrt {13} }}{2}

\end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}

\Delta SOE;\widehat {SEO} = {90^0}\left( {OE \bot \left( {SAD} \right)} \right);SO = \dfrac{{5a\sqrt {13} }}{2};OE = \dfrac{{3a}}{2}\\

 \Rightarrow \sin \widehat {OSE} = \dfrac{{OE}}{{SO}} = \dfrac{{\dfrac{{3a}}{2}}}{{\dfrac{{5a\sqrt {13} }}{2}}} = \dfrac{3}{{5\sqrt {13} }}\\

 \Rightarrow \widehat {OSE} = \arcsin \left( {\dfrac{3}{{5\sqrt {13} }}} \right)\\

 \Rightarrow \left( {SO,\left( {SAD} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{3}{{5\sqrt {13} }}} \right)

\end{array}$

Vậy $\left( {SO,\left( {SAD} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{3}{{5\sqrt {13} }}} \right)$

3) Ta có:

$\begin{array}{l}

\left\{ \begin{array}{l}

BC \bot AB\\

BC \bot SA

\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\\

\left\{ \begin{array}{l}

AH \bot BC\\

AH \bot SA

\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)

\end{array}$

Từ H kẻ đường thẳng song song với AD và lấy trên đường thẳng đó điểm N sao cho $HN=AD$

Ta có:

$HN//AD;HN=AD \to AHND$ là hình bình hành.

$\to ND//AH; ND=AH$

Mà $AH\bot (SBC)\to DN \bot (SBC)$ $\to N$ là hình chiếu của D trên (SBC)

$ \Rightarrow \left( {SD,\left( {SBC} \right)} \right) = \left( {SD,SN} \right) = \widehat {DSN}$

Lại có:

$\begin{array}{l}

\Delta SAB;\widehat {SAB} = {90^0};AH \bot SB = H;SA = 5a\sqrt 3 ;AB = 3a;SB = 2a\sqrt {21} \\

 \Rightarrow AH = \dfrac{{SA.AB}}{{SB}} = \dfrac{{5a\sqrt 3 .3a}}{{2a\sqrt {21} }} = \dfrac{{15a}}{{2\sqrt 7 }} \Rightarrow DN = \dfrac{{15a}}{{2\sqrt 7 }}

\end{array}$

$\begin{array}{l}

\Delta SAD;\widehat {SAD} = {90^0};SA = 5a\sqrt 3 ;AD = 4a\\

 \Rightarrow SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{{\left( {5a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}}  = a\sqrt {91} 

\end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}

\Delta SDN;\widehat {DNS} = {90^0}\left( {DN \bot \left( {SBC} \right)} \right);SD = a\sqrt {91} ;ND = \dfrac{{15a}}{{2\sqrt 7 }}\\

 \Rightarrow \sin \widehat {DSN} = \dfrac{{DN}}{{SD}} = \dfrac{{\dfrac{{15a}}{{2\sqrt 7 }}}}{{a\sqrt {91} }} = \dfrac{{15}}{{14\sqrt {13} }}\\

 \Rightarrow \widehat {DSN} = \arcsin \left( {\dfrac{{15}}{{14\sqrt {13} }}} \right)\\

 \Rightarrow \left( {SD,\left( {SBC} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{{15}}{{14\sqrt {13} }}} \right)

\end{array}$

Vậy $\left( {SD,\left( {SBC} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{{15}}{{14\sqrt {13} }}} \right)$

4) Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}

BM \bot AC\\

BM \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)

\end{array} \right. \Rightarrow BM \bot \left( {SAC} \right)$

$ \Rightarrow M$ là hình chiếu của B trên (SAC)

$ \Rightarrow \left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) = \left( {SB,SM} \right) = \widehat {BSM}$

Lại có:

$\begin{array}{l}

\Delta ABC;\widehat {ABC} = {90^0};AB = 3a;BC = 4a;AC = 5a;BM \bot AC = M\\

 \Rightarrow BM = \dfrac{{AB.AC}}{{AC}} = \dfrac{{3a.4a}}{{5a}} = \dfrac{{12}}{5}

\end{array}$

Và

$\begin{array}{l}

\Delta SAB;\widehat {SAB} = {90^0};SA = 5a\sqrt 3 ;AB = 3a\\

 \Rightarrow SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {5a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}}  = 2a\sqrt {21} 

\end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}

\Delta SBM;\widehat {SMB} = {90^0}\left( {BM \bot \left( {SAC} \right)} \right);SB = 2a\sqrt {21} ;BM = \dfrac{{12}}{5}a\\

 \Rightarrow \sin \widehat {BSM} = \dfrac{{BM}}{{SB}} = \dfrac{{\dfrac{{12}}{5}a}}{{2a\sqrt {21} }} = \dfrac{6}{{5\sqrt {21} }}\\

 \Rightarrow \widehat {BSM} = \arcsin \left( {\dfrac{6}{{5\sqrt {21} }}} \right)\\

 \Rightarrow \left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{6}{{5\sqrt {21} }}} \right)

\end{array}$

Vậy $\left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) = \arcsin \left( {\dfrac{6}{{5\sqrt {21} }}} \right)$