Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý :

Chứng minh rằng :

a/ b+c. + b/ c+a + c/ a+b > hoặc = 3/2

• Sử dụng bất đẳng thức AM - GM hoặc bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bắt đẳng thức.

Xin cảm ơn!

Ta có `:`

`a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)`

`= a/(b+c)+1+b/(a+c)+1+c/(a+b)+1-3`

`= (a+b+c)/(b+c)+(a+b+c)/(a+c)+(a+b+c)/(a+b)-3`

`= (a+b+c)(1/(b+c)+1/(a+b)+1/(a+c))-3`

`= 1/2. 2(a+b+c)(1/(b+c)+1/(a+b)+1/(a+c))-3`

`= 1/2( b+c+a+b+a+c)(1/(b+c)+1/(a+b)+1/(a+c))-3`

Áp dụng bdt `AM-GM` ta được `:`

`( b+c+a+b+a+c)(1/(b+c)+1/(a+b)+1/(a+c))>=` `3\root{3}{(a+b)(b+c)(a+c)}. 3root{3}{1/(a+b). 1/(b+c). 1/(b+c)}`

`=> ( b+c+a+b+a+c)(1/(b+c)+1/(a+b)+1/(a+c))>=9`

`=> 1/2( b+c+a+b+a+c)(1/(b+c)+1/(a+b)+1/(a+c))-3>= 1/2. 9-3`

`=> 1/2( b+c+a+b+a+c)(1/(b+c)+1/(a+b)+1/(a+c))-3>= 3/2`

`=> a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)>= 3/2`

Vậy `a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)>=3/2`. Dấu "=" xảy ra khi `a+b=b+c=a+c` hay `a=b=c`