Để `3` số `a, b, c` theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ta cần có:

`a + c = 2b`

Áp dụng vào bài toán, ta có:

`sin2x - cos2x + 5sinx - cosx - 1 = 2sinx`

`\Leftrightarrow sin2x - cos2x + 3sinx - cosx - 1 = 0`

`\Leftrightarrow 2sinxcosx - (1 - 2sin^2x) + 3sinx - cosx - 1 = 0`

`\Leftrightarrow 2sinxcosx - 1 + 2sin^2x + 3sinx - cosx - 1 = 0`

`\Leftrightarrow 2sinxcosx - cosx + 2sin^2x + 3sinx - 2 = 0`

`\Leftrightarrow cosx(2sinx - 1) + 2sin^2x + 3sinx - 2 = 0`

Đặt `t = sinx, -1 \le t \le 1`

Ta có: `cos x = \pm \sqrt{1 - sin^2 x} = \pm \sqrt{1 - t^2}`

`\pm \sqrt{1 - t^2}(2t - 1) + 2t^2 + 3t - 2 = 0`

Trường hợp 1: `cos x = \sqrt{1 - t^2}`

`\sqrt{1 - t^2}(2t - 1) + 2t^2 + 3t - 2 = 0`

`\Leftrightarrow \sqrt{1 - t^2}(2t - 1) + (2t - 1)(t + 2) = 0`

`\Leftrightarrow (2t - 1)(\sqrt{1 - t^2} + t + 2) = 0`

Vì `\sqrt{1 - t^2} + t + 2 > 0` với mọi `-1 \le t \le 1` nên:

`2t - 1 = 0`

`\Leftrightarrow t = \frac{1}{2}`

`\Leftrightarrow sin x = \frac{1}{2}`

`\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + k2\pi` hoặc `x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}`

Trường hợp 2: `cos x = -\sqrt{1 - t^2}`

`-\sqrt{1 - t^2}(2t - 1) + 2t^2 + 3t - 2 = 0`

`\Leftrightarrow -\sqrt{1 - t^2}(2t - 1) + (2t - 1)(t + 2) = 0`

`\Leftrightarrow (2t - 1)(-\sqrt{1 - t^2} + t + 2) = 0`

Vì `-\sqrt{1 - t^2} + t + 2 > 0` với mọi `-1 \le t \le 1` nên:

`2t - 1 = 0`

`\Leftrightarrow t = \frac{1}{2}`

`\Leftrightarrow sin x = \frac{1}{2}`

`\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + k2\pi` hoặc `x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}`

Vậy: .....