`a)`

Đk1: `\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi, k \in \mathbb{Z}`

ĐK2:

`\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}`

ta được tập xác định của hàm số là:

`D = \mathbb{R} \setminus {k\pi; \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}}`

`b)`

Vì `\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi` nên `\alpha` nằm trong góc phần tư thứ `IV` Trong góc phần tư này `\cos \alpha > 0`

Ta có: `\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (-\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}`

Do đó `\cos \alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}`

Ta có công thức: `\cos(\frac{\pi}{3}-\alpha) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha + \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha`

`= \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{13} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{12}{13}) = \frac{5}{26} - \frac{12\sqrt{3}}{26} = \frac{5-12\sqrt{3}}{26}`

`c)`

Ta có:

`\sin x + \sin 3x = 2\sin\frac{x+3x}{2}\cos\frac{x-3x}{2} = 2\sin 2x \cos(-x) = 2\sin 2x \cos x`

`\cos x + \cos 3x = 2\cos\frac{x+3x}{2}\cos\frac{x-3x}{2} = 2\cos 2x \cos(-x) = 2\cos 2x \cos x`

Khi đó:

`A = \frac{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}{\cos x + \cos 2x + \cos 3x} = \frac{2\sin 2x \cos x + \sin 2x}{2\cos 2x \cos x + \cos 2x} = \frac{\sin 2x(2\cos x + 1)}{\cos 2x(2\cos x + 1)}`

`A = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \tan 2x`