$(a)$

`@`$E_{MnO_4^{2-}/MnO_2}=?$

Có: $E_{MnO_4^-/MnO_2}=1.70V$ và $E_{MnO_4^-/MnO_4^{2-}}=0.56V$

`->`$E_{MnO_4^{2-}/MnO_2}=\dfrac{1.70 \times 3 - 0.56}{2}=2.27V$

`@`$E_{MnO_4^-/Mn^{2+}}=?$

Có:

$E_{MnO_4^-/MnO_2}=1.70V$ 

$E_{MnO_2/Mn^{3+}}=0.95V$

$E_{Mn^{3+}/Mn^{2+}}=1.51V$

`->`$E_{MnO_4^-/Mn^{2+}}=\dfrac{1.7 \times 3+0.95+1.51}{5}=1.512V$

$(b)$

`@`$Mn^{2+}$

Có:

$E_{Mn^{3+}/Mn^{2+}}=1.51V$

$E_{Mn^{2+}/Mn}=-1.18V$

`=>` $\Delta E=(-1.18)-(1.51)=-2.69V<0$

`=>`$Mn^{2+}$ bền trong môi trường acid.

`@`$Mn^{3+}$

Có:

$E_{MnO_2/Mn^{3+}}=0.95V$

$E_{Mn^{3+}/Mn^{2+}}=1.51V$

`=>` $\Delta E=1.51-0.95=0.56V>0$

`=>`$Mn^{3+}$ kém bền trong môi trường acid.

$\text{ x 1 | }$$Mn^{2+} \to Mn^{3+}+1e^-$

$\text{ x 1 | }$$Mn^{3+}+2H_2O \to MnO_2+1e^-+4H^+$

`=>` Cộng hai bán phản ứng ta được phản ứng dị phân:

$2Mn^{3+} +2H_2O\to Mn^{2+}+MnO_2+4H^+$

Ta có: $-2.303RTlg(K)=-nF\Delta E^o$

`=>`$K=10^{\dfrac{96500 \times 0.56}{2.303 \times 8.314 \times 298}} \approx 10^{9.47}$