Mọi người giúp em với ạ Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2A, SAB = SCB = 90 độ và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) = 60 độ. Tính thể tích khối chóp SABC ?

Đáp án:

 D. $\dfrac{\sqrt2}3.a^3$

Giải thích các bước giải:

Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh $S$ lên $(ABC)$ hay $SH\bot(ABC)$

Ta có $\begin{cases}AB\bot SA\text{ (do }\widehat{SAB=90^o}\text { )}\\AB\bot SH\text{ (do }SH\bot(ABC)\text{ )}\end{cases}$

$\Rightarrow AB\bot (SAH)\Rightarrow AB\bot AH$

Tương tự

$\begin{cases}BC\bot SC\text{ (do }\widehat{SBC=90^o}\text { )}\\BC\bot SH\text{ (do }SH\bot(ABC)\text{ )}\end{cases}$

$\Rightarrow BC\bot (SAH)\Rightarrow BC\bot CH$

$\Delta ABH=\Delta CBH$ (cạnh huyền-cạnh góc vuông AB=BC, HB chung)

$\Rightarrow HA=HC\Rightarrow BH\bot AC$

Và $\Delta SHA=\Delta SHC$ (2 cạnh góc vuông SH chung, HA=HC)

$\Rightarrow SA=SC$

$\Rightarrow\Delta SAB=\Delta SCB$ (cạnh huyền cạnh góc vuông, SB chung, SA=SC)

$(SAB)\cap(SBC)=SB$

Dựng $AI\bot SB\Rightarrow CI\bot SB$ và $AI=CI$

$\Rightarrow\widehat{((SAB),(SBC))}=(AI,CI)$

Trường hợp $\widehat{AIC}=60^o$

$\Rightarrow\Delta ACI$ đều $\Rightarrow AI=CI=AC=AB=BC$ loại vì $CB$ không thể bằng $CI$ và $AI$ không thể bằng $AB$ vì theo cách dựng AI vuông SB (loại)

$\Rightarrow\widehat{AIC}=120^o$

Áp dụng định lý cosin vào $\Delta ACI$ có:

$AC^2=IA^2+IC^2-2.IA.IC.\cos\widehat{AIC}$

$\Leftrightarrow (2a)^2=IA^2(1+1-2.\cos120^o)$

$\Leftrightarrow IA^2=\dfrac{4a^2}{3}$

$\Delta SAB\bot A, AI\bot SB:\dfrac1{AI^2}=\dfrac1{SA^2}+\dfrac1{AB^2}$

$\Rightarrow \dfrac{3}{4a^2}=\dfrac1{SA^2}+\dfrac1{4a^2}$

$\Rightarrow SA^2=2a^2$

$\Delta ABH\bot A:\tan\widehat{ABH}=\dfrac{AH}{AB}$

$\Rightarrow AH=AB.\tan\widehat{ABH}=\dfrac{2a}{\sqrt3}$

$\Delta SHA\bot H: SH^2=SA^2-AH^2=2a^2-\dfrac{4a^2}3=\dfrac{2a^2}3$

$\Rightarrow SH=\dfrac{a\sqrt2}{\sqrt3}$

$\Rightarrow V_{SABC}=\dfrac13.SH.S_{ABC}=\dfrac13.\dfrac{a\sqrt2}{\sqrt3}.\dfrac12.2a.2a\sin60^o=\dfrac{a^3\sqrt2}3$.