Đáp án+Giải thích các bước giải:

Xét đa thức:

`M=(a+b)(b+c)(c+a)-2abc`

`M=(ab+b^2+ac+bc)(a+c)-2abc`

`M=(a^2b+b^2a+a^2c+abc+abc+b^2c+ac^2+bc^2)-2abc`

`M=a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b+2abc-2abc`

`M=a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b`

`M=(a^3+a^2b+a^2c)+(b^3+b^2a+b^2c)+(c^3+c^2a+c^2b)-(a^3+b^3+c^3)`

`M=a^2(a+b+c)+b^2(a+b+c)+c^2(a+b+c)-(a^3+b^3+c^3)`

`M=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(a^3+b^3+c^3)`

Xét `a^3+b^3+c^3`

`=a^3-a+b^3-b+c^3-c+(a+b+c)`

`=a(a^2-1)+b(b^2-1)+c(c^2-1)+(a+b+c)`

`=(a-1)a(a+1)+(b-1)b(b+1)+(c-1)c(c+1)+(a+b+c)`

Ta thấy:

`a-1` , `a` và `a+1` là 3 số nguyên liên tiếp.

`⇒(a-1)a(a+1) \vdots 6`

Tương tự:

`{((b-1)b(b+1)\vdots6),((c-1)c(c+1)\vdots6):}`

`⇒(a-1)a(a+1)+(b-1)b(b+1)+(c-1)c(c+1) \vdots6`

Lại có:

`a+b+c \vdots 6`

`⇒(a-1)a(a+1)+(b-1)b(b+1)+(c-1)c(c+1)+(a+b+c) \vdots6`

`⇒a^3+b^3+c^3 \vdots 6`

Quay lại với đa thức `M` có:

`(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \vdots 6` do `a+b+c \vdots 6`

`a^3+b^3+c^3 \vdots 6` `(\text{Chứng minh trên})`

`⇒(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(a^3+b^3+c^3) \vdots 6`  `(\text{Tính chất chia hết})`

`⇒M=(a+b)(b+c)(c+a)-2abc \vdots 6`   `(\text{Điều phải chứng minh})`

Vậy `M \vdots 6`