Xét `ΔABM` và `ΔADN`, có:

`hat{BAM} = hat{DAN}` (đối đỉnh)

`hat{ABM} = hat{ADN} = 90°` (do `ABCD` là hình chữ nhật) `=> ΔABM ∽ ΔADN` (g.g)

Từ đó suy ra:

`frac{AM}{AN} = frac{AB}{AD} = 1/k => AN = k.AM`

Áp dụng định lý Pitago cho `ΔABM`, có:

`AB^2 = AM^2 + BM^2 => BM^2 = AB^2 - AM^2`

Áp dụng định lý Pitago cho `ΔADN`, có:

`AD^2 = AN^2 + DN^2 => DN^2 = AD^2 - AN^2 = (k.AB)^2 - (k.AM)^2 = k^2(AB^2 - AM^2)`

Thay `BM^2` và `DN^2` vào đẳng thức cần chứng minh:

`\frac{1}{k^2 AM^2} + \frac{1}{AN^2}` 

`= \frac{1}{k^2 AM^2} + \frac{1}{(kAM)^2}`

`= \frac{AM^2 + k^2}{k^2 AM^2}`

`= \frac{AM^2 + AB^2 - AM^2}{k^2 AM^2}` (`\text{vì } BM^2 = AB^2 - AM^2`) 

`= \frac{AB^2}{k^2 AM^2} = \frac{1}{AB^2}`