Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 Bài 4:

a)

Ta có: $\widehat{PAQ} = \widehat{APH} = \widehat{AQH} = 90^\circ$ (vì P, Q, H là hình chiếu của H xuống AB, AC, BC) 

Nên tứ giác APHQ có 4 góc vuông

=> APHQ là hình chữ nhật.

b)

Xét $\triangle KQH$ có:

$\widehat{KQH} = 90^\circ$ (vì Q là hình chiếu của H xuống AC) 

KH = HC/2 (K là trung điểm của HC) 

QH = HC/2 (Q là trung điểm của HC, do PQ là đường trung bình của $\triangle AHC$)

Nên KH = QH

=> $\triangle KQH$ cân tại H

c)

Xét $\triangle KQP$ có:

$\widehat{KQP} = \widehat{KQH} + \widehat{HQP}$ 

$\widehat{KQH} = 90^\circ - \widehat{QKH}$ (vì $\triangle KQH$ cân tại H) 

$\widehat{HQP} = 90^\circ - \widehat{PHQ}$ (vì $\triangle PHQ$ cân tại H) 

$\widehat{QKH} = \widehat{PHQ}$ (vì $\triangle KQH$ và $\triangle PHQ$ cân tại H) 

Nên $\widehat{KQP} = (90^\circ - \widehat{QKH}) + (90^\circ - \widehat{PHQ}) = 180^\circ - \widehat{QKH} - \widehat{PHQ} = 180^\circ - 2\widehat{QKH} = 90^\circ$ 

Xét $\triangle KQH$ và $\triangle PIH$ có:

$\widehat{KQH} = \widehat{PIH} = 90^\circ$

$\widehat{QKH} = \widehat{IHP}$ (vì cùng bằng $\widehat{QHP}$)

KH = IH (I là trung điểm của HB, K là trung điểm của HC, H là trung điểm của BC) 

Nên $\triangle KQH = \triangle PIH$ (g.c.g)

=> $\widehat{QHK} = \widehat{IHP}$ (góc tương ứng) 

Mà $\widehat{QHK}$ và $\widehat{IHP}$ ở vị trí so le trong

=> PI // QK