Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy ABCD mặt bên (SCD) hợp với đáy góc 60 độ .Tính thể tích khối chóp SABCD

Đáp án:

$V_{SABCD}=\dfrac{a^3}{\sqrt3}$

Giải thích các bước giải:

Ta có: $\begin{cases}CD\bot AD\text{ (do }ABCD\text{ là hình vuông)}\\CD\bot SA\text{ (do }SA\bot(ABCD)\text {)}\end{cases}$

$\Rightarrow CD\bot(SAD)\Rightarrow CD\bot SD$

Ta có $(SCD)\cap(ABCD)$ tại $DC$

$(SCD)$ có $SD\bot CD$ (chứng minh trên)

$(ABCD)$ có $AD\bot CD$ (do ABCD là hình vuông)

$\Rightarrow\widehat{((SCD),(ABCD))}=(SD,AD)=\widehat{SDA}=60^o$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta SAD\bot A$ có:

$\tan\widehat{SDA}=\dfrac{SA}{AD}$

$\Rightarrow SA=AD.\tan\widehat{SDA}=a.\tan60^o=a\sqrt3$

$\Rightarrow V_{SABCD}=\dfrac13.SA.S_{ABCD}=\dfrac13.a\sqrt3.a.a=\dfrac{a^3}{\sqrt3}$.