Cho 2 đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt. Đường thẳng OA cắt (O), (O') lần lượt tại điểm thứ hai C, D. Đường thẳng O'A cắt (O), (O') lần lượt tại điểm thứ hai E, F. 1, Chứng minh 3 đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I. 2, Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn. 3, Cho PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O') [P ∈ (O), Q ∈ (O') ] Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ

Giải thích các bước giải:

1.Vì AC,AF là đường kính của (O) ,(O')

$\to AB\perp BC, AB\perp BF\to B,C,F$ thẳng hàng

Gọi $CE\cap DF=I$

Vì $AC,AF$ là đường kính của (O),(O')

$\to FE\perp CI, CD\perp IF\to A$ là trực tâm $\Delta ICF\to IA\perp CF$

Mà $AB\perp CF\to I,A,B$ thẳng hàng

$\to AB,CE,DF$ đồng quy tại 1 điểm I

2.Từ câu a $\to IB\perp CF, FE\perp CI\to\widehat{IEF}=\widehat{IBF}=90^o$

$\to \Diamond BEIF$ nội tiếp

3.Gọi $AB\cap PQ=K$

Vì KP là tiếp tuyến của (O)
$\to \widehat{KPB}=\widehat{KAP}\to\Delta KPB\sim\Delta KAP(g.g)$

$\to\dfrac{KP}{KA}=\dfrac{KB}{KP}\to KP^2=KA.KB$

Tương tự $\to KQ^2=KA.KB\to KQ^2=KP^2\to KQ=KP\to K$ là trung điểm PQ

$\to $AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ