Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến ABC với đường tròn. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau ở K. Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AO, cắt AO tại H và đường tròn (O) tại E và F (E nằm giữa K và F). Gọi M là giao điểm của OK và BC. Chứng minh: a) Tứ giác EMOF nội tiếp. b) AE, AF là tiếp tuyến của đường tròn.

Giải thích các bước giải:

a.Vì $KB,KC$ là tiếp tuyến của (O)
$\to KB\perp OB,KC\perp OC, OK\perp BC=M\to KM.KO=KB^2$ 

Mà $KB$ là tiếp tuyến của (O)$\to\widehat{KBE}=\widehat{KFB}$

$\to\Delta KBE\sim\Delta KFB(g.g)$

$\to\dfrac{KB}{KF}=\dfrac{KE}{KB}\to KB^2=KE.KF\to KE.KF=KM.KO$

$\to\dfrac{KE}{KO}=\dfrac{KM}{KF}$

$\to\Delta KEM\sim\Delta KOF(c.g.c)$

$\to\widehat{KEM}=\widehat{KOF}\to EMOF$ nội tiếp

b.Ta có $KH\perp AO\to\widehat{KHO}=\widehat{AMO}=90^o,(KO\perp BC)$

$\to\Delta OMA\sim\Delta OHK(g.g)$

$\to\dfrac{OM}{OH}=\dfrac{OA}{OK}\to OM.OK=OH.OA$

Mà $KO\perp BC, OB\perp KB\to OB^2=OM.OK\to OH.OA=OB^2=OE^2(OE=OB)$

$\to\dfrac{OE}{OH}=\dfrac{OA}{OE}\to\Delta OEH\sim\Delta OAE(c.g.c)$

$\to\widehat{OEA}=\widehat{OHE}=90^o\to AE$ là tiếp tuyến của (O)

Tương tự $\to AF$ là tiếp tuyến của (O)