Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, SC=a√2. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD. a) Chứng minh SH vuông góc với (ABCD), b) Chứng minh AC vuông góc với SK, CK vuông góc với SD

a. Ta có $\Delta SAB$ đều S, $H$ là trung điểm AB $\to SH\perp AB$

Vì $\Delta SAB$ đều $\to SB=SA=AB=a$

Do $SC=a\sqrt{2}, ABCD$ là hình vuông $\to AB=BC=CD=DA=a$

$\to SC^2=SB^2+BC^2(=2a^2)\Rightarrow \Delta SBC\bot B$

$\to SB\perp BC$

Mà $BC\perp AB$

$\to BC\perp SAB\to BC\perp SH$

Lại có $SH\perp AB$ (cmt) $\to SH\perp ABCD$

b. Vì $ABCD$ là hình vuông $\to AC\perp BD$

Mà H, K là trung điểm AB, AD

$\to HK$ là đường trung bình $\Delta ABD\to HK//BD\to HK\perp AC$

Lại có $SH\perp ABCD\to SH\perp AC$

$\to AC\perp SHK\to AC\perp SK$

Ta có: $AH=DK=\dfrac12a, AD=CD, \widehat{HAD}=\widehat{KDC}=90^o$

$\to\Delta AHD=\Delta DKC(c.g.c)$

$\to\widehat{ADH}=\widehat{DCK}$

Gọi $I=CK\cap DH\Rightarrow\Delta IDC$ có:

$\widehat{IDC}+\widehat{ICD}=\widehat{IDC}+\widehat{ADH}=90^o$

$\to CK\perp DH$

Mà $AH\perp ABCD\to AH\perp CK$

$\to CK\perp SDH\to CK\perp SD$.