a,
Áp dụng đli cosin trong ΔABC với ∠ABC=120
AC²=AB²+BC² -2 x AB x BC x cos ( ∠ABC )
AC²=(4a)²+(4a)²-2 x 4a x 4a x cos( 120) 
vì cos(120)=$\frac{1}{2}$ 
AC²=16a²+ 16a²+2 x 4a x 4a x $\frac{1}{2}$ 
AC²= 16a²+16a²+16a²
AC²=48a²
AC= 4a$\sqrt[]{3}$ 

BD²=AC²-2 x AB²
vì AB=4a
BD²= (4a$\sqrt[]{3}$ )²-2 x ( 4a)²
BD²=48a²-32a²
BD=4a
b, 
AO=$\frac{AC}{2}$ =$\frac{4a\sqrt[]{3} }{2}$ =2a$\sqrt[]{3}$ 

$\frac{AO}{AB}$ =$\frac{2a\sqrt[]{3} }{4a}$ = $\frac{ \sqrt[]{3} }{2}$