Câu hỏi:

Gọi phương trình chính tắc của elip là:

`\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1`

Ta có: `b^2 = a^2 - c^2 = 5^2 - 3^2 = 16`

`\Rightarrow b = 4`

Vậy phương trình elip là:

`\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1`

Gọi hình chữ nhật nội tiếp elip có các đỉnh là `A(x;y), B(-x;y), C(-x;-y), D(x;-y)` với `x, y > 0`

Khi đó, diện tích hình chữ nhật là:

`S = 2x \cdot 2y = 4xy`

`y^2 = 16(1 - \frac{x^2}{25})`

`y = 4\sqrt{1 - \frac{x^2}{25}}`

`S = 4x \cdot 4\sqrt{1 - \frac{x^2}{25}} = 16x\sqrt{1 - \frac{x^2}{25}}`

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

`x^2 + (25 - x^2) \ge 2\sqrt{x^2(25 - x^2)}`

`\Leftrightarrow 25 \ge 2\sqrt{x^2(25 - x^2)}`

`\Leftrightarrow \frac{25}{2} \ge \sqrt{x^2(25 - x^2)}`

`\Leftrightarrow \frac{625}{4} \ge x^2(25 - x^2)`

`\Leftrightarrow \frac{625}{100} \ge \frac{x^2}{25}(1 - \frac{x^2}{25})`

`\Leftrightarrow \frac{25}{4} \ge \frac{x^2}{25}(1 - \frac{x^2}{25})`

`\Leftrightarrow \frac{625}{4} \ge x^2(25 - x^2)`

`\Leftrightarrow \frac{625}{16} \ge x^2(1 - \frac{x^2}{25})`

`S \le 16 \cdot \frac{5}{2} = 40`

Dấu bằng xảy ra khi `x^2 = 25 - x^2`

`\Leftrightarrow x^2 = \frac{25}{2}`

`\Leftrightarrow x = \frac{5}{\sqrt{2}}`

Khi đó `y = 4\sqrt{1 - \frac{25}{50}} = 4\sqrt{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{2}`

`S = 4xy = 4 \cdot \frac{5}{\sqrt{2}} \cdot 2\sqrt{2} = 40`

Vậy: ....