`F = x^2 + 2y^2 + 2xy + 5 - 2y`

`= (x^2 + 2xy + y^2) + (y^2 - 2y + 1) + 4`

`= (x+y)^2 + (y-1)^2 + 4`

Ta có:

$\begin{cases} (x+y)^2 ≥ 0\\(y-1)^2 ≥ 0 \end{cases}$

`=> (x+y)^2 + (y-1)^2 >= 0`

`=> (x+y)^2 + (y-1)^2 + 4 >= 4`

`=> F >= 4`

Dấu bằng xảy ra khi:

$\begin{cases} (x+y)^2 = 0\\(y-1)^2 = 0 \end{cases}$

$⇒ \begin{cases} x+y = 0\\y-1 = 0 \end{cases}$

$⇒ \begin{cases} x=-y\\y=1 \end{cases}$

$⇒ \begin{cases} x=-1\\y=1 \end{cases}$

Vậy $GTNN$ của `F = 4` khi `x = -1; y =1`