`a)` Xét `∆AEF` và `∆ABC`, ta có:

`hat{A}` chung

`hat{AEF} = hat{ABC}` (cùng phụ với `hat{FEC}`)

`=>` Vậy `∆AEF ∼ ∆ABC` ($g.g$)

`b)` Ta có:

$IQ // BC$ ($gt$)

`EF ⊥ BC` (vì `BE`, `CF` là đường cao)

Suy ra: `IQ ⊥ EF` tại `I`.

Xét `∆IPF` và `∆IQE`, ta có:

`hat{IPF} = hat{IQE} = 90°`

`hat{PIF} = hat{QIE}` (đối đỉnh)

Vậy `∆IPF ∼ ∆IQE` ($g.g$)

Do đó: `\frac{IP}{IQ} = \frac{PF}{QE}`

Mà `PF = QE` (do `EF` là đường trung bình của `∆BHC`)

`=>` `IP = IQ`

`c)` Ta có:

$IQ // BC$ ($gt$)

`M` là trung điểm của `AH` ($gt$)

Suy ra: `I` là trung điểm của `BQ` (định lý đường trung bình)

Vậy $BM // IQ$

Mà `IQ ⊥ EF` ($cmt$)

Suy ra: `BM ⊥ EF`

Mặt khác, `EF ⊥ MC` (vì `EF` là đường cao của `∆ABC`)

Từ đó suy ra: `BI ⊥ MC`

`=>` Vậy `I` là trực tâm của `∆BMC`.