Bước 1: Biến đổi phương trình

Ta nhóm các hạng tử chứa yyy lại với nhau:

x2=4y2+4y+45x^2 = 4y^2 + 4y + 45x2=4y2+4y+45

Để tiện giải phương trình, ta sẽ đưa vế phải về dạng bình phương:

x2=4(y2+y)+45x^2 = 4(y^2 + y) + 45x2=4(y2+y)+45

Bây giờ, hoàn thành bình phương cho y2+yy^2 + yy2+y:

y2+y=(y+12)2−14y^2 + y = \left(y + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}y2+y=(y+21​)2−41​

Thay vào phương trình:

x2=4((y+12)2−14)+45x^2 = 4\left(\left(y + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}\right) + 45x2=4((y+21​)2−41​)+45 x2=4(y+12)2−1+45x^2 = 4\left(y + \frac{1}{2}\right)^2 - 1 + 45x2=4(y+21​)2−1+45 x2=4(y+12)2+44x^2 = 4\left(y + \frac{1}{2}\right)^2 + 44x2=4(y+21​)2+44

x2−44=4(y+12)2x^2 - 44 = 4\left(y + \frac{1}{2}\right)^2x2−44=4(y+21​)2

Bước 2: Đặt điều kiện để x2−44x^2 - 44x2−44 chia hết cho 4

Ta có:

x2−44=4kx^2 - 44 = 4kx2−44=4k

Trong đó kkk là một số nguyên.

x2=4k+44x^2 = 4k + 44x2=4k+44

Điều này có nghĩa là x2x^2x2 phải có dạng 4m4m4m, trong đó mmm là một số nguyên. Vậy xxx phải chia hết cho 2. Đặt x=2nx = 2nx=2n:

4n2=4(k+11)4n^2 = 4(k + 11)4n2=4(k+11)

Tương đương:

n2=k+11n^2 = k + 11n2=k+11

Do đó:

k=n2−11k = n^2 - 11k=n2−11

Bây giờ ta thay lại vào phương trình ban đầu:

4(y+12)2=4(n2−11)4\left(y + \frac{1}{2}\right)^2 = 4(n^2 - 11)4(y+21​)2=4(n2−11)

(y+12)2=n2−11\left(y + \frac{1}{2}\right)^2 = n^2 - 11(y+21​)2=n2−11

y+12=±n2−11y + \frac{1}{2} = \pm\sqrt{n^2 - 11}y+21​=±n2−11​

y=±n2−11−12y = \pm\sqrt{n^2 - 11} - \frac{1}{2}y=±n2−11​−21​

Để yyy là số nguyên, thì n2−11\sqrt{n^2 - 11}n2−11​ phải là số nguyên, giả sử là mmm:

n2−11=m2n^2 - 11 = m^2n2−11=m2

Bước 3: Tìm giá trị của nnn và mmm

Ta có:

n2−m2=11n^2 - m^2 = 11n2−m2=11

(n−m)(n+m)=11(n - m)(n + m) = 11(n−m)(n+m)=11

Các cặp số (n−m,n+m)(n - m, n + m)(n−m,n+m) có thể là (1,11)(1, 11)(1,11) hoặc (−1,−11)(-1, -11)(−1,−11), do 11 là số nguyên tố.

Trường hợp 1:

n−m=1n - m = 1n−m=1 n+m=11n + m = 11n+m=11

Cộng hai phương trình:

2n=12⇒n=62n = 12 \Rightarrow n = 62n=12⇒n=6

Thay n=6n = 6n=6 vào:

m=11−6=5m = 11 - 6 = 5m=11−6=5

Trường hợp 2:

n−m=−1n - m = -1n−m=−1 n+m=−11n + m = -11n+m=−11

Cộng hai phương trình:

2n=−12⇒n=−62n = -12 \Rightarrow n = -62n=−12⇒n=−6

Thay n=−6n = -6n=−6 vào:

m=−11+6=−5m = -11 + 6 = -5m=−11+6=−5

Bước 4: Tìm nghiệm yyy

Với n=6n = 6n=6 và m=5m = 5m=5:

y=5−12=92y = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}y=5−21​=29​ hoặc y=−5−12=−112y = -5 - \frac{1}{2} = -\frac{11}{2}y=−5−21​=−211​, không phải số nguyên.

Với n=−6n = -6n=−6 và m=−5m = -5m=−5:

y=−5−12=−112y = -5 - \frac{1}{2} = -\frac{11}{2}y=−5−21​=−211​ hoặc y=5−12=92y = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}y=5−21​=29​, cũng không phải số nguyên.

Kết luận

Phương trình không có nghiệm nguyên