Giải thích các bước giải:

Câu 9:

Ta có:

$u_1=\sqrt2=2\cos\dfrac{\pi}4=2\cos\dfrac{\pi}{2^2}$

$u_2=\sqrt{2-\sqrt2}=2\cos\dfrac{\pi}8=2\cos\dfrac{\pi}{2^3}$

$\to $Đoán $u_n=2\cos\dfrac{\pi}{2^{n+1}}$

Chứng minh: $u_n=2\cos\dfrac{\pi}{2^{n+1}}$

Do $n=1, n=2\to u_n=2\cos\dfrac{\pi}{2^{n+1}}$ đúng

Giả sử $n=k$ đúng

$\to u_k=2\cos\dfrac{\pi}{2^{k+1}}$

Ta chứng minh $u_{k+1}=2\cos\dfrac{\pi}{2^{(k+1)+1}}$

Thật vậy ta có:

$u_{k+1}=\sqrt{2+u_k}=\sqrt{2+2\cos\dfrac{\pi}{2^{k+1}}}=\sqrt{2(1+\cos\dfrac{\pi}{2^{k+1}})}=\sqrt{4\cos^2(\dfrac{\pi}{2^{k+2}})}=2\cos\dfrac{\pi}{2^{k+2}}$

$\to đpcm$

Vậy $u_n=2\cos\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\le 2\cdot 1=2$

$\to a=2$

Câu 10:

Ta có: $u_{n+1}=u_n+2$

$\to u_{n+1}-u_n=2$

$\to$Dãy số $(u_n)$ là cấp số cộng có $u_1=3, d=2$

$\to u_n=3+(n-1)\cdot 2=2n+1$