`C = 10x^2 + 6xy +y^2 - 2x +31`

`= 9x^2 + 6xy +y^2 +x^2 - 2x + 1+30`

`= (3x)^2 + 2.3x.y +y^2 +x^2 - 2.x.1 + 1+30`

`= (3x+y)^2 + (x-1)^2 +30`

Ta có:

`(3x+y)^2 >= 0` và `(x-1)^2 >=0`

`⇒ (3x+y)^2 + (x-1)^2 >= 0`

`⇒ (3x+y)^2 + (x-1)^2 +30 ≥ 30`

`⇒ C ≥ 30`

Dấu `"="` xảy ra khi:

$\begin{cases} x-1 = 0\\3x+y=0 \end{cases}$

$⇒ \begin{cases} x=1\\3.1+y=0 \end{cases}$

$⇒ \begin{cases} x=1\\3+y=0 \end{cases}$

$⇒ \begin{cases} x=1\\y = -3 \end{cases}$

Vậy $GTNN$ của `C` là `30` khi `x=1; y=-3`