cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH điểm D đối xứng với A qua B đường thẳng đi qua A và vuông góc với DH cắt BC tại I chứng minh HI=IC

$\text{Gọi: M là trung điểm AC}$

$\text{⇒ IM là đường trung tuyến ΔCAI}$

$\text{Có: $\left \{ {{\widehat{DAI}+\widehat{IAC}=\widehat{DAC}=90^{o}} \atop {\widehat{DAI}+\widehat{HDA}=90^{o}}} \right.$}$

$\text{⇒ $\widehat{IAC}$ = $\widehat{HDA}$}$

$\text{Có: $\left \{ {{\widehat{HAC}+\widehat{BAH}=\widehat{BAC}=90^{o}} \atop {\widehat{HAC}+\widehat{ACH}=90^{o}}} \right.$}$

$\text{⇒ $\widehat{BAH}$ = $\widehat{ACH}$}$

$\text{Xét ΔCAI và ΔADH có:}$

$\text{$\widehat{IAC}$ = $\widehat{HDA}$ (cmt)}$

$\text{$\widehat{ACH}$ = $\widehat{BAH}$ (cmt)}$

$\text{⇒ ΔCAI $\sim$ ΔADH (g.g)}$

$\text{Có: D đối xứng với A qua B (gt)}$

$\text{⇒ BH là đường trung tuyến của ΔADH}$

$\text{và IM là đường trung tuyến ΔCAI (cmt)}$

$\text{mà ΔCAI $\sim$ ΔADH (cmt)}$

$\text{⇒ $\widehat{CIM}$ = $\widehat{AHB}$ = $90^{o}$}$

$\text{Có: AH ⊥ BC (AH là đường cao)}$

$\text{IM ⊥ BC ($\widehat{CIM}$ = $90^{o}$)}$

$\text{⇒ AH // IM (⊥ ⇒ //)}$

$\text{Xét Δ HAC có:}$

$\text{AH // IM (cmt)}$

$\text{M là trung điểm AC (IM là đường trung tuyến)}$

$\text{⇒ I là trung điểm HC}$

$\text{⇒ HI = IC}$