Câu 4. (3.5 điểm) Cho ∆ABC có AB > AC, trung tuyến CM. Trên tia đối của tia MC lấy điểm D sao cho MD = MC. Chứng minh AD = CB và AD // BC ; Chứng minh AC + CB > 2CM ; Gọi K là điểm trên đoạn thẳng AM sao cho AK = 2KM, CK cắt AD tại N. Chứng minh N là trung điểm của AD. Gọi I là giao điểm của BN và CD. Chứng minh CD/MI = 6

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

a) Xét tam giác AMD và tam giác BMC có:

    MA=MB( M là trung điểm AB)

    MD=MC( gt)

    góc AMD= góc BMC

=> tam giác AMD= tam giác BMC( cgc)

=> AD=BC( cặp cạnh tương ứng)

=> góc DAM = góc MBC ( cặp góc tương ứng)

mà hai góc ở vị trí so le trong

=> AD//BC

b) xét tam giác ADC có: AD+ AC> DC( bất đẳng thức tam giác)   (1)

   mà DC=CM+MD=2CM( vì DM=CM) ; AD = BC( cmt)                (2)

(1) và (2) => AC+ BC > 2CM (ĐPCM)

c)

ta có AK = 2KM ( gt)

=> AM= AK+KM=2KM+KM=3KM

=> KM/AM=1/3=> AM/AM=2/3 => K là trọng tâm của tam giác ADC

=> CN là trung tuyến ứng với AD ( N thuộc AK)=> N là trung điểm AD

d)

tam giác ABD có BN và DM là 2 đường trung tuyến cắt nhau tại I

=> I là trọng tâm của ΔABD

=> MI = 1/3 DM 

mà DM =1/2CD (  vì MD=MC)

=> MI = 1/6 CD => CD/MI =6 ( đpcm)