Đáp án + Giải thích các bước giải:

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y)$

$\Leftrightarrow \dfrac{m}{1} \ne \dfrac{4}{m}$

$\Leftrightarrow m^2 \ne 4$

$\Leftrightarrow m \ne \pm 2$

$\begin {cases} mx + 4y = 9 \\ x + my =8 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} mx + 4y =9 \\ mx + m^2y = 8m \end {cases} (m \ne 0)$

$\Leftrightarrow \begin {cases} mx + 4y = 9 \\ 4y - m^2y = 9 - 8m \end {cases}$
$\Leftrightarrow \begin {cases} mx + 4y = 9 \\ (4 - m^2)y = 9 - 8m \end {cases}$
$\Leftrightarrow \begin {cases} mx + 4\bigg(\dfrac{8m - 9}{m^2 - 4}\bigg) = 9 \\ y = \dfrac{8m - 9}{m^2 - 4}\end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} mx + \dfrac{32m - 36}{m^2 - 4} = \dfrac{9m^2 - 36}{m^2 - 4} \\ y = \dfrac{8m - 9}{m^2 - 4} \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} mx = \dfrac{9m^2 - 32m}{m^2 - 4} \\ y = \dfrac{8m - 9}{m^2 - 4} \end {cases}$
$\Leftrightarrow \begin {cases} x = \dfrac{9m - 32}{m^2 - 4} \\ y = \dfrac{8m - 9}{m^2 - 4} \end {cases}$

Ta có: $2x + y + \dfrac{38}{m^2 - 4} = 3$
$\Leftrightarrow 2 . \dfrac{9m - 32}{m^2 - 4} + \dfrac{8m - 9}{m^2 - 4} + \dfrac{38}{m^2 - 4} = 3$

$\Leftrightarrow 2(9m - 32) + 8m - 9 + 38 = 3(m^2 - 4)$
$\Leftrightarrow 18m - 64 + 8m - 9 + 38 = 3m^2 - 12$

$\Leftrightarrow 26m - 35 = 3m^2 - 12$

$\Leftrightarrow 3m^2 - 26m + 23 = 0$

$\Leftrightarrow (3m - 23)(m - 1) = 0$

$\Leftrightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}m=\dfrac{23}{3}(tm)\\m=1(tm)\end{array} \right.\) 

Vậy với $m = \dfrac{23}{3}$ hoặc $m = 1$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y)$ thoả mãn hệ thức $2x + y + \dfrac{38}{m^2 - 4} = 3$