Đáp án, các bước giải:

$a) \text{OB = OC = R (vì B, C nằm trên (O ; R))}$

$\text{DB = DC = R ( vì B, C nằm trên (D ; R))}$

$\text{Suy ra : OB = OC = DB = DC.}$

$\text{Vậy tứ giác OBDC là hình thoi.}$

$\text{Tứ giác OBDC là hình thoi nên OD$\bot$ BC hay $AD\bot$ BC}$

 $\text{Vì AB = AC ( tính chất đường trung trực)}$

$\text{Suy ra tam giác ABC cân tại A}(1)$ 

$ mà : \widehat{BAC}$$=\widehat{\frac{BOC}{2}}$$=\widehat{\frac{BDC}{2} }$$=\mathop{\frac{1}{2} AB}\limits^{\displaystyle\frown}=$$\widehat{ACB}(2)$

$\text{Từ 1 và 2}$$\Rightarrow $$\text{tam giác ABC là tam giác đều}$

$\text{b)}$

$\text{AB=AC=BC=2BI}$

$BI=\sqrt[]{OB^{2}-OI^{2}}$

$BI=\sqrt[]{R^{2}-(\frac{R}{2})^{2}}$

$BI=R\sqrt[]{\frac{3}{4}}$ 

$\text{AB=AC=BC=}$$2R\sqrt[]{\frac{3}{4}}$$=R\sqrt[]{3}$ 

$@Duyy$