`a)`Vì `ABCD` là hình bình hành(GT)

    nên `AB`//`CD`

    suy ra `hat(NAT)=hat(NDH)`(`2` góc so le trong)

    Xét `ΔNTA` và `ΔNHD` có:

         `hat(ANT)=hat(DNH)`(`2` góc đối đỉnh)

         `NA=ND`(`N` là trung điểm `AD`)

         `hat(NAT)=hat(NDH)`(CMT)

   nên `ΔNTA=ΔNHD(g-c-g)`

   suy ra `AT=DH`(`2` cạnh tương ứng)

             `NT=NH`(`2` cạnh tương ứng)

   Khi đó:`N` là trung điểm `HT`

   Xét tứ giác `AHDT` có:

         `N là trung điểm `AD`(GT)

         `N` là trung điểm `HT`(CMT)

  nên tứ giác `AHDT` là hình bình hành

  mà `AH⊥DT`(GT)

  nên tứ giác `AHDT` là hình chữ nhật

`b)`Ta có `ND=NH`(`AHDT` là hình chữ nhật)

     nên `ΔNHD` cân tại `N`

     suy ra `hat(NHD)=hat(NDH)`

     mà `hat(BCH)=hat(NDH)`(`ABCD` là hình thang cân)

     nên `hat(BCH)=hat(NHD)`

     mà `2` góc ở vị trí đồng vị

     nên `TH`//`BC`

     Ta có:`TH=AD`(`AHDT` là hình chữ nhật)

     mà `AD=BC`(`ABCD` là hình thang)

     nên `TH=BC`

     Xét tứ giác `BTHC` có:

           `TH=BC`(CMT) và `TH`//`BC`(CMT)

     nên tứ giác `BTHC` là hình bình hành

`c)`Vì `AD=CD`(GT) nên `ΔACD` cân tại `D`

     mà `M` là trung điểm `AC`(GT) nên `DM` vừa là đường trung tuyến,vừa là đường cao kẻ từ `D` của `ΔACD`

     `⇒DM⊥AC` tại `M`

     `⇒ΔAMD` vuông tại `M` có trung tuyến `MN` ứng với cạnh huyền `AD`nên `MN=1/2AD`

   Mặt khác,ta có `AD=TH`(CMT)

   `⇒MN=1/2TH=NT=NH`

   `⇒ΔTMH` vuông tại `M⇒hat(TMH)=90^o`      `(1)`

   Gọi `I` là trung điểm `DE`

   Vì `ΔACD` cân tại `D`(CMT)

   có `DM` là trung tuyến suy ra `DM` là phân giác của `hat(ADC)⇒hat(ADE)=hat(ACE)`

   Xét `ΔADE` và `ΔCDE` có:

         `AD=CD`(GT)

         `hat(ADE)=hat(CDE)`(CMT)

         `DE` là cạnh chung

   nên `ΔADE=ΔCDE(c-g-c)`

   `⇒hat(DAE)=hat(DCE)=90^o`

   Xét `2Δ` `ADE` vuông tại `A` và `CDE` vuông tại `C` lần lượt có trung tuyến `AI,CI` ứng với
cạnh huyền `DE` nên `IA=ID=IC=1/2DE`       `(2)`

  `⇒ΔICD` cân tại `I`⇒`hat(ICD)=hat(IDC)`

  mà `hat(ACD)=hat(ADC)`(`ABCD` là hình thang cân)

  nên `hat(ACD)-hat(ICD)=hat(ADI)-hat(IDC)`

  suy ra `hat(ADI)=hat(BCI)`

  Xét `ΔAID` và `ΔBIC` có:

        `ID=IC` (chứng minh trên)

        `hat(ADI)-hat(IDC)`(chứng minh trên)

        `AD=BC`(`ABCD` là hình thang cân) 

  nên `ΔAID=ΔBIC(c-g-c)`

  `⇒IA=IB`(`2` cạnh tương ứng)                   `(3)`

  Từ `(2)` và `(3)` suy ra `IB=1/2DE=ID=IE`

  `⇒ΔBDE` vuông tại `B` suy ra `hat(DBE)=90^o`              `(4)`

  Từ `(1)` và `(4)` suy ra: `hat(DBE)=hat(TMH)(=90^o)`

  `color(blue)(text(Chúc bạn học tốt))`