Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh a)Tam giác AEB đồng dạng tam giác AFC. b) AB.AF=AC.AE c) Tam giác AEF đồng dạng tam giác ABC d) BH.BE+CH.CF=BC^2

Đáp án+ Giải thích các bước giải:

a) Xét $ΔABE$ và $ ΔACF$ có:

  $\widehat{A}$ chung

  $\widehat{AEB}=\widehat{AFC}=90^o$

$\Rightarrow ΔABE$ ~$ΔACF$ (g.g)

b)Do $ΔABE$ ~$ΔACF \Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}$ 

c) Xét $ΔAEF$ và $ΔABC$ có:

    $\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}$ 

    $\widehat{A}$ chung

$\Rightarrow ΔAEF$ ~ $ΔABC$ (g.g)

d) Kẻ $HK⊥BC$

Xét $ΔBKH$ và $ΔBEC$ có:

$\widehat{HBC}$ chung

$\widehat{BKH}=\widehat{BEC}=90^o$

$\Rightarrow ΔBKH$~$ΔBEC$ (g.g)

$\Rightarrow BK.BE=BH.BC$

$\Rightarrow BH.BE=BK.BC$(1)

Xét $ΔCKH$ và $ΔCFB$ có:

$\widehat{BCH}$ chung

$\widehat{CKH}=\widehat{CFB}=90^o$

$\Rightarrow ΔCKH$ ~$ΔCFB$(g.g)

$\Rightarrow CK.CF=CH.BC$

$\Rightarrow CH.CF=BC.CK$(2)

Cộng (1) với (2) ta được:

$BH.BE+CH.CF=BK.BC+CK.BC=BC.(CK+BK)=BC.BC=BC^2$

$\Rightarrow  BH.BE+CH.CF=BC^2$