Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a)$ Xét $ΔABC$ vuông tại $A$ có:

$AC = \sqrt{BC^2-AB^2} = \sqrt{25-9} = 4$ (theo Pythagore)

$\sin{C}=\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{3}{5}$

$⇒ \widehat{C} ≈ 36,9^o$

$⇒ \widehat{B} ≈ 53,1^o$

Vậy$ΔABC$có$\widehat{A}=90^o,\widehat{B}=53,1^o,\widehat{C}=36,9^o,AB=3cm,AC=4cm,Bc=5cm$

$b)$ Ta có:

$\widehat{D}+\widehat{DBC} + \widehat{C}=180^o$

$⇒ \widehat{D}=53,1^o$

Xét $ΔABD$ vuông tại $A$ có:

$\sin{D} = \dfrac{AB}{BD}⇔\sin{53,1^o} = \dfrac{3}{BD}$

$⇒ BD = 3,75cm$

$AD=\sqrt{BD^2-AB^2} = \sqrt{3,75^2-3^2} = 2,25$ (theo Pythagore)

Vậy $AD=2,25cm,BD=3,75cm$

$c)$ Xét $ΔABF$ và $ΔDBA$ có:

$\widehat{AFB}=\widehat{DAB}=90^o$

Chung $\widehat{FBA}$

$⇒ ΔABF ~ ΔDBA(g-g)$

$⇒ \dfrac{AB}{BD} = \dfrac{BF}{AB}$

$⇔ BD.BF=AB^2(1)$

Xét $ΔABE$ và $ΔCBA$ có:

$\widehat{AEB}=\widehat{CAB}=90^o$

Chung $\widehat{CBA}$

$⇒ ΔABE ~ ΔCBA(g-g)$

$⇒ \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{BE}{AB}$

$⇔ BC.BE=AB^2(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $BF.BD=BE.BC$

#tuan789