Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 Ta có`:` `x^3 + y^3 >= xy(x+y)`    `(x;y >0)`

`<=> x^3 + y^3 >= x^2y + xy^2`

`<=> x^3 - x^2y + y^3 - xy^2 >=0`

`<=> x^2(x-y) - y^2(x-y) >=0`

`<=> (x-y)^2 (x+y) >= 0` luôn đúng với `x;y>0`

Áp dụng bất đẳng thức `x^3 + y^3 >= xy(x+y)` ta có`:`

`(ab)^3 + (bc)^3 >= ab . bc . (ab + bc)`

`<=> a^3b^3 + b^3c^3 >= abc(ab^2 + b^2c)`

Dấu "`=`" xảy ra khi `a=b`

Chứng minh tương tự ta có`:`

`b^3c^3 + c^3a^3 >= abc(bc^2 + c^2a)`

`a^3b^3 + c^3a^3 >= abc(a^2b + ca^2)`

`=> 2(a^3b^3 + b^3c^3 + c^3a^3) >= abc(ab^2 + b^2c+bc^2 + c^2a+a^2b + ca^2)`

Không mất tính tổng quát , giả sử`:` `a>=b>=c`

Ta có`:` `a^2b + b^2c + c^2a >= ab^2 + bc^2 + ca^2`

`<=> (a^2b-ca^2) + (b^2c-bc^2) - a(b^2-c^2)>=0`

`<=> a^2(b-c) + bc(b-c) - a(b+c)(b-c)>=0`

`<=> (b-c)(a^2+bc-ab-ac)>=0`

`<=> (b-c)(a-b)(a-c) >=0`

Vì `a>=b>=c => b-c>=0;a-b>=0;a-c>=0`

Dấu "`=`" xảy ra khi `a=b=c`

`=> a^2b + b^2c + c^2a >= ab^2 + bc^2 + ca^2`

`=> abc(ab^2 + b^2c+bc^2 + c^2a+a^2b + ca^2) >= 2abc(ab^2 + bc^2 + ca^2)`

`=> 2(a^3b^3 + b^3c^3 + c^3a^3) >= 2abc(ab^2 + bc^2 + ca^2)`

`=> a^3b^3 + b^3c^3 + c^3a^3 >= ab^2 + bc^2 + ca^2`

Dấu "`=`" xảy ra khi `a=b=c`