cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B(AB=BC=A;AD=2a);SA vuông góc với (ABCD).Chứng minh :CD vuông góc với (SAC)

Giải thích các bước giải:

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
SA \bot \left( {ABCD} \right)\\
CD \subset \left( {ABCD} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot CD\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

ABCD là hình thang vuông tại A và B nên ta có:

\(\begin{array}{l}
AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = \sqrt 2 a\\
CD = \sqrt {\left( {A{B^2}} \right) + {{\left( {AD - BC} \right)}^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a - a} \right)}^2}}  = \sqrt 2 a\\
 \Rightarrow A{C^2} + C{D^2} = {\left( {\sqrt 2 a} \right)^2} + {\left( {\sqrt 2 a} \right)^2} = 4{a^2} = A{D^2}
\end{array}\)

Tam giác ACD có \(A{C^2} + C{D^2} = A{D^2}\) nên tam giác ACD vuông tại C hay \(AC \bot CD\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) 

Từ (1) và (2) suy ra \(CD \bot \left( {SAC} \right)\)

Vậy \(CD \bot \left( {SAC} \right)\)