Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì:

`(-2)/m ne 1/1 <=> m ne -2`

`{(-2x+y=3m+1),(mx+y=m^2+m+3):}`

`<=> {(-2x+y=3m+1),(mx+y+2x-y=m^2+m+3-3m-1):}`

`<=> {(-2x+y=3m+1),((m+2)x=m^2-2m+2):}`

`<=> {(-2 . (m^2-2m+2)/(m+2)+y=3m+1),(x=(m^2-2m+2)/(m+2)):}`

`<=> {(y=3m+1 + (2m^2-4m+4)/(m+2)),(x=(m^2-2m+2)/(m+2)):}`

`<=> {(y=((3m+1)(m+2) + 2m^2-4m+4)/(m+2)),(x=(m^2-2m+2)/(m+2)):}`

`<=> {(y=(3m^2 + m +6m+2+ 2m^2-4m+4)/(m+2)),(x=(m^2-2m+2)/(m+2)):}`

`<=> {(y=(5m^2 + 3m +6)/(m+2)),(x=(m^2-2m+2)/(m+2)):}`

Ta có:

`x>0`

`<=>(m^2 -2m+2)/(m+2) >0`

Vì `m^2 -2m+2=m^2 -2m+1+1=(m-1)^2 +1 >0`

`=>m+2 >0`

`<=>m> -2(1)`

Ta có:

`y> 0`

`<=> (5m^2 + 3m +6)/(m+2) >0`

Vì `5m^2 +3m+6=5(m^2 + 3/5 m)+6 = 5(m^2+ 2 .3/10 m + 9/100 - 9/100)+6=5(m+ 3/10)^2 - 9/20+6=5(m+ 3/10)^2 + 111/20 >0`

`=>m +2>0`

`<=> m > -2(2)`

Từ `(1),(2) => m > -2`

Vậy có vô số giá trị nguyên của `m`