Cho khối lăng trụ đứng ABC. A'B'C'có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC=a√2, góc giữa mặt phẳng (A'BC) và mặt đáy bằng 60. Tính thể tích

Đáp án:

$V_{A'B'C'.ABC}=\dfrac{a^{3}\sqrt{3}}{2}$

Giải thích các bước giải:

Xét tam giác ABC vuông cân tại B có, $AC=a\sqrt2$

$\Rightarrow BA=BC=a$

Ta có:

$BC\bot AB$ $(\Delta ABC\bot B)$

$BC\bot AA'$ ($ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đứng nên các mặt bên vuông góc với đáy)

$\Rightarrow BC\bot(A'AB)$

$\Rightarrow BC\bot(A'B)$

$\Rightarrow (A'BC)\cap(ABC)=(A'B,AB)=\widehat{A'BA}=60^o$

Xét tam giác vuông A'AB vuông tại A:

$\tan \widehat{A'BA}=\dfrac{AA'}{AB}$

$\Rightarrow \tan 60^{\circ}=\dfrac{AA'}{a}$

$\Rightarrow AA'=a\sqrt3$

Vậy thể tích khối lăng trụ:

$V_{A'B'C'.ABC}=S_{ABC}.AA'=\dfrac12.BA.BC.AA'=\dfrac12.a.a.a\sqrt{3}=\dfrac{a^{3}\sqrt{3}}{2}$